函数积分学及其应用

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1、第三章 一元函数积分学及其应用13.1 定积分的概念、性质、可积准则13.1.1 定积分问题举例13.1.2 定积分的概念33.1.3 定积分的几何意义43.1.4 可积准则53.1.5 定积分的性质73.2 微积分基本定理103.2.1 牛顿莱布尼兹公式103.2.2 原函数存在定理123.3 不定积分163.3.1 不定积分的概念及性质163.3.3 基本积分公式173.3.3 积分法则183.4 定积分的计算303.4.1 定积分的换元法303.4.2 定积分的分部积分法343.5 定积分应用举例353.5.1 总量的可加性与微元法353.5.2 几何应用举例363.5.3 物理、力学应

2、用举例453.5.4 函数的平均值493.6 反常积分503.6.1 无穷区间上的反常积分503.6.2 无界函数的反常积分533.6.3 反常积分的审敛法 函数55习题课四59习题课563第三章 一元函数积分学及其应用3.1 定积分的概念、性质、可积准则 定积分问题举例1. 曲边梯形的面积设在区间上非负、连续。由直线及曲线所围成的图形（如图3-1）称为曲边梯形，其中曲线称为曲边。图31我们将划分成为许多小区间，在每个小区间上任取一点以函数在该点的函数值作为这个小区间上的窄曲边梯形的变高，则每个小窄曲边梯形的可近似地看成小窄矩形。从而将这些小窄矩形的面积之和作为曲边梯形的面积的近似值，并把区间

3、无限细分下去，即使每个小区间的长度趋于零，这时所以窄矩形面积之和的极限就可以定义为曲边梯形的面积。这个定义同时也给出了计算曲边梯形面积的方法，想详述于下：（1）划分：在区间中任意插入若干个个分点把区间分成n个小区间，它们的长度为，经过每一个分点处作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形。（2）取点：在每个小区间上任取一点，以为底、为高的窄矩形近似替代窄曲边梯形。（3）求和：把这样得到的n个窄曲边梯形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即（4）求极限：记，则上述条件可表示为。当时，取上述和式的极限便得曲边梯形的面积类似地我们可以得到变速直线运动的路程 定积分的概念抛去上面两个例题的

4、物理意义，给出它们在本质上的性质，为此引入以下定义。定义 设函数 在上有界，在中任意插入若干个分点，把区间分成n个小区间，各个小区间的长度依次为，在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积并作出和（1）记，如果不论对怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即，（2）其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。和通常称为的积分和。如果在上的定积分存在，我们就说在上可积。在定积分的定义中假定了，但在实际应用和理论分析中会遇到积分上限小于下限或上、下限相等的情

5、况，为此，将定积分的定义扩充如下：（1）当时，规定 。（2）当时，规定 0；由定积分的定义，前面两个例题可以表示为 ，。对于定积分的理解，应注意以下几点：（1）定积分表示的是一个数，其值取决于积分区间和被积函数，而与积分变量的几号无关，因此在定积分存在的条件下，如果不改变被积函数，也不改变积分区间，而只把积分变量改成其他字母，例如获，那么，这时和的极限不变，从而定积分值不变，即。（2）在定积分定义中大家要注意两点，即积分区间的划分是任意的，在区间上取点是任意的。即如果定积分存在，则定积分的值与区间的划分无关，与区间上的取点无关。换言之，如果由于划分的不同或取点的不同而导致积分和式的极限不同或极

6、限不存在，则在a,b上一定不可积。例如狄利克雷函数当点选择为有理数时，其积分和为，若选择无理数其积分和为0，由此可见积分和在时无极限，从而在a,b不可积。 定积分的几何意义在上时，我们已经知道，定积分在几何上表示由曲线、两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积：在上时，由曲线、两条直线与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在上即取得正值又取得负值时，函数的图形某些部分在轴的上方，而其他部分在轴的下方（图32），此时定积分表示轴上方图形面积减去轴下方图形面积所得之差。图32例1 已知函数在a,b上满足，试从定积分的几何意义，比较下述三个数的大小：，解 由题设可知，

7、非负函数在a,b上单调减少且向下凸，其图形如图33所示。由定积分的几何意义知，是曲边梯形的面积，是矩形的面积，是梯形的面积，故。 图33 可积准则了解了定积分的概念后，我们自然要问，什么样的函数可积，对于可积函数如何计算它的定积分。定理（可积的必要条件） 若函数在a,b上必有界。证明 设在a,b上可积。若在a,b无界，则对于任意给定的，任意给定的分划：至少在其中的一个子区间上无界。在（i=1,2,n,）上任意选取，在上适当选取，使则即对于任意分划，总可以通过适当选取使任意大。因此，时积分和不可能有极限，故在a,b上不可积，这与假设矛盾。因此，在a,b上必有界。由此定理可知，凡是无界函数均不可积

8、。但有界函数也未必可积。例如狄利克雷函数。那么什么有界函数一定可积呢？定理（可积的充分条件） 若函数在a,b上满足下列条件之一：（1）在上连续；（2）在上有界，且只有有限个间断点；（3）在上单调；则在上可积。例2 利用定义计算定积分。解 因为被积函数在积分区间上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间的分法及点的取法无关。因此，为了便于计算，不妨把区间分成等份，分点为；这样，每个小区间的长度；取。于是，得和式 当即时，取上式右端的极限。由定积分的定义，即得所要计算的积分为由定积分的定义，我们很容易的得出定积分的近似计算公式 定积分的性质性质1 证 性质1可以推广到有限的情况去性质2 如果在区间

9、上，则。性质3 如果在区间上，则证 因为函数大于等于零，因此积分和也大于等于零，故其极限也也大于等于零性质4 如果在区间上，则。证 由，再由性质3即得。性质5 设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则证 因为，再由性质4，得再由性质1与性质2，即得所证不等式。由此性质我们可以预估积分值的取值区间。性质6 证 因为，再由性质4及性质1即得性质46常用于估计定积分的大小。例3 比较与的大小。解 在区间上有，从而 ，故。例4 证明：。证明 设，则。令，得 而，即在上，最大值为，最小值为，从而即性质7 设，则证 由于在上可积，所以对的任何划分，定积分都不变。取的一个划分，使称为一个分点，则的积分和等

10、于上的积分和加上上的积分和，记为令，上式两端同时取极限，即得该性质称为积分区间的可加性，容易验证，通过积分的补充规定，该性质无论的位置如何都是成立的由性质7可知，计算分段表示的可积函数的定积分时，可分区间计算。例5 设在a,b上连续，若，证明。证明 若不恒等于零，则存在，使得，不妨设，则由的连续性知，对，存在，使时，即，故与矛盾，故。性质8（定积分中值定理） 如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使下式成立：这个公式叫做积分中值公式证 把性质6中的不等式各除以，得 .即，确定的数值介于函数的最小值与最大值之间，由连续函数的介值定理，在上至少存在一点，使得函数在点处的值与这个确定

11、的数值相等，即应有 两段各除以，即得所要证的等式。显然，积分中值定理不论还是都是成立的。称为函数在区间上的平均值。 例5 设在0,1上可微，且满足，证明：存在，使得证明 令。由积分中值定理，存在，使得因此。在由罗尔定理知，存在，使，即作业（定义）2，4（1），（几何意义）5（1）（3），7，9。3.2 微积分基本定理前面我们看到使用定义来求定积分，工作量很大，如果是更复杂的函数，那么工作量会更大。下面我们从实际问题出发，来探讨定积分的计算 牛顿莱布尼兹公式一般地，设是定义在区间上的函数，若存在函数，满足则称是在区间上的一个原函数。易证，在上若有原函数，则必有无穷多个原函数，且多个原函数之间只相

12、差一个常数，因而，若是的一个原函数，则为任意常数）就是所有原函数的一般表达式。一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设作直线运动的物体在时刻时所在位置为，速度为。（为讨论方便假设）。由第一节的例子，我们知道物体在时间间隔内经过的路程可以用速度函数在上的定积分 来表达；另一方面，这一路程又可以通过位置函数在区间上的增量 来表达。由此可见，位置函数与速度函数之间有如下关系： （1）因为，即位置函数是速度函数的原函数，所以关系（1）表示，速度函数在区间上的定积分等于的原函数在区间上的增量。该结论具有普遍意义。二、牛顿莱布尼茨公式定理 设是上的可积函数，是在区间上的一个原函数，则 （2）证 任

13、取的一个分划：由微分中值定理，存在，使得从而显然是在上的一个特殊积分和，由于可积，故在上式两端取极限，便有公式（2）称为牛顿莱布尼茨公式。因上式公式揭示了微分与积分之间的关系，故称为微积分基本公式。例1 计算第一节中的定积分。解 由牛顿莱布尼茨公式。例2 计算。解 例3 计算。解 例4 计算正弦曲线在上与轴所围成的平面图形的面积（图34）的面积。解 例5 汽车以每小时36km速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等加速度刹车。问从开始刹车到停车，汽车驶过了多少距离。解 首先算出从开始刹车到停车经过的时间。设开始刹车的时刻为，此时汽车速度刹车后汽车减速，其速度为 当汽车停住时，速度，故从解得 于

14、是即在刹车后，汽车需驶过10m才能停住。 原函数存在定理由牛顿莱布尼兹公式可以将定积分的计算转化为寻求被积函数的原函数，那么什么样的函数具有原函数，如果存在又如何求出它的原函数。设函数是上的可积函数，为上的一点，由定积分的性质7知，在上也可积，即存在，为了避免混淆，我们将积分变量设为，由此上式可写成，显然当积分上限在区间上任意变动时，该定积分确定唯一一个值与之对应，所以它定义了上的一个函数，记作：这个函数称为积分上限函数，具有下面的重要性质。定理（原函数存在定理） 如果函数在区间上连续，则积分上限函数在上可导，并且它的导数是即函数就是在上的一个原函数。证 若，设获得增量，其绝对值足够地小，使得，则（图35，图中在处的函数值为图35。由此得函数的增量