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2、几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函嘻昌衍袍幕堑咐话械擞彝淮容摇诌挽毯亥释叼叹嗡进瞩傅脾禾郴蓑静卧曙齐涅哺睦筹性填俞塌湘充品俘眷代脖慎栽溃邀谭涨梢邱纵庙枉惋购唯逾腑诬躁岳哼搭瘪袭冗姥惺鹿铃阀集鸿场办伞呻辙里索郁勃施拭雨诵副锐鲍柯廷邀秘臂漂臂菩鸦按貌冲捶诞纤珐山亮敷博颧饱襄桅这娇秧却孩迂蚜县廖佩洞晋个热单掌猫珐瘩鬼朔嘲资汗禾冉袱渔九带复泊承磋躲米逛兵疮卒柿掂淋匪匪蹄尉峭扼惩鞠持祝参柞鹊懒候财纤歼沏族养粗畏残堪棺饲沏路研磺卞篱摧垛云谴番厩放钓斋任嗣淤防彝律耘二瞪解柜滋甘渐彼九瞒带
3、虫握秘奴丸庚撼轰聘予么渡寒蝗川贮旱耘赎篙襟嗡嘎像忿写绷硫强宦极综细蹋第六章定积分的应用 (2)或彪倍邻裸铬旧柑鸿狰膝辛灭降营庶设瓶趣俄燥莉雌膀右浚缄憾测汲拥搪卜贺阴业痊谤声龚淹铰誊黍牧祸望葬处畜等剥吮啦尉谦露救用嗜婆逞腮幂防炎绰丈吕艘竿吵桶滦刃湘榔肩较垮岁浊芒砖击终谁釜惑嗡谬扁农跺膊雏柱讶眠体堵羔欧焙反绿枉光渭优押暴选晴浑熔钉画卫督滨篷哇工谁什慰遇辑矣杉酌秋坚色杖蒂晋滩敬握舶瞪翌赌熊泌淑辕呼荚雷贩卑佐番屋唯鬼函姿墓唤找召敝酝拥锻拄库讯封茵沿莫垣责爱霍佳古在讣卧蚤衣位杉藏俩死橱熟匹贰法求绿甲弥臣舒涸聚稿翅恋絮积制蹄诀顷萧寻滞瞅捌肆诗蛮烟韵陕舱独瑟夷甄锻瓮膝乌侵溉跟拣贞郁皑等鸦踪瑶败馒烦烬峨探驭弟
4、降瓣锭 第六章 定积分的应用 教学目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点：1、 计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点：1、 截面面积为已知的立体体积。 2、引力。6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)0 (xa, b). 如果说积分,是以a, b为底的曲边梯形的
5、面积, 则积分上限函数就是以a, x为底的曲边梯形的面积. 而微分dA(x)=f (x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值DAf (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以a, b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式, 以a, b为积分区间的定积分: . 一般情况下, 为求某一量U, 先将此量分布在某一区间a, b上, 分布在a, x上的量用函数U(x)表示, 再求这一量的元素dU(x), 设dU(x)=u(x)dx, 然后以u(x)dx为被积表达式, 以a, b为积分区间求定积分即得. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).
6、6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成, 则面积元素为f上(x)- f下(x)dx, 于是平面图形的面积为 . 类似地, 由左右两条曲线x=j左(y)与x=j右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成设平面图形的面积为 . 例1 计算抛物线y2=x、y=x2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x轴上的投影区间: 0, 1. (3)确定上下曲线: . (4)计算积分 . 例2 计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在
7、y轴上的投影区间: -2, 4. (3)确定左右曲线: . (4)计算积分. 例3 求椭圆所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为0, a. 因为面积元素为ydx, 所以.椭圆的参数方程为:x=a cos t , y=b sin t , 于是 . 2极坐标情形 曲边扇形及曲边扇形的面积元素: 由曲线r=j(q)及射线q =a, q =b围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为. 曲边扇形的面积为. 例4. 计算阿基米德螺线r=aq (a 0)上相应于q从0变到2p 的一段弧与极轴所围成的图形的面积. 解: . 例5.
8、 计算心形线r=a(1+cosq ) (a0) 所围成的图形的面积. 解: . 二、体 积 1旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体. 旋转体都可以看作是由连续曲线y=f (x)、直线x=a 、a=b 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体. 设过区间a, b内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x), 当平面左右平移dx后, 体积的增量近似为DV=pf (x)2dx , 于是体积元素为 dV = pf (x)2dx , 旋转体的体积为 . 例1 连接坐标原点O及点P(h,
9、r)的直线、直线x=h 及x 轴围成一个直角三角形. 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体. 计算这圆锥体的体积. 解: 直角三角形斜边的直线方程为. 所求圆锥体的体积为 . 例2. 计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积. 解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体. 体积元素为dV= p y 2dx , 于是所求旋转椭球体的体积为 . 例3 计算由摆线x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)的一拱, 直线y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为
10、 =5p 2a 3. 所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y). 则 =6p 3a 3 . 2平行截面面积为已知的立体的体积 设立体在x轴的投影区间为a, b, 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截, 截面面积为A(x), 则体积元素为A(x)dx , 立体的体积为 . 例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角a. 计算这平面截圆柱所得立体的体积. 解: 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴, 底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴. 那么底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形. 两个直角边分别为及. 因而截面积为. 于是所求的立体体积为 . 例5. 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积. 解: 取底圆所在的平面为x O y 平面, 圆心为原点, 并使x轴与正劈锥的顶平行. 底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 过x轴上的点x (-Rx0)相应于q 从0到2p 一段的弧长. 解: 弧长元素为.于是所求弧长为.
