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1、2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)2x(1) 极限 limxsin1=.X F二 X 1(2)微分方程xy，+ y=0满足初始条件y(1) = 2的特解为 .(3)设二元函数 z = xeX4y+(x+1)ln(1 + y),则 dz =.(1,0)(4)设行向量组(2,1,1,1), (2,1,a,a) , (3,2,1,a) , (4,3,2,1)线性相关，且 a#1,则 a=.(5)从数1,2,3,4中任取一个数，记为 X,再从1,2,，X中任取一个数，记为 Y则PY =2 =.(6)设二维随机变量(X,
2、Y)的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件X =0与X +Y =1相互独立，则a= , b=.二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)当a取下列哪个值时，函数f (x) =2x3 -9x2 +12x-a恰好有两个不同的零点(A) 2.(B) 4.(C) 6.(D) 8. 22. 2222.2.(8)设 Ii = fcosjx + y da , 12 = JJcos(x + y )dc , 13 = 口cos(x + y ) d。DDD其中2 2i,D =( x, y)x +y 3满足A
3、* =AT ,其中A*是A的伴随矩阵，At为A的转置矩阵 J若a11,a12, a13为三个相等的正数，则a11为3 1(A) -.(B)3. (C)- .(D)33(13)设%是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a1,a2,则口1 ,A(1 +豆2)线性无关的充分必要条件是(A)=0.(B),2=0. (C) =0.(D) 2:0.2、 .2 .(14)设一批零件的长度服从正态分布 N(出仃),其中叱仃 均未知.现从中随机抽取16个零件，测得样本均值 x =20(cm),样本标准差s=1(cm),则口的置信度为0.90的 置信区间是1 111(A) (20 -10.05(16),
4、20 To.05(16).(B)(20 - t0.1(16),20 t0.1(16).44441111(C)(20t0.05(15),20 10.05(15). (D)(20 t0.1(15),20 10.1(15).4444三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分8分)1 x1；xr-)-1 -ex(16)(本题满分8分)xc 二22c设 f(u)具有二阶连续导数，且 g(x, y)= f() +yf(-) ,x2-g- y2-g-.x y二 x 二 y(17)(本题满分9分)计算二重积分j|x2 +y2 -1d ,其中 D =( x
5、, y)|0 Wx W1,0 W y W1.D(18)(本题满分9分)求哥级数一(一11)x2n在区间(-1,1)内的和函数S(x). ni2n 1(19)(本题满分8分)设 f(x),g(x)在0, 1上的导数连续，且 f(0)=0, f x) 0 , g (x) 20 .证明：对任何 ae 0,1,a10 g(x) f (x)dx 0 f (x)g (x)dx - f (a)g(1).(20)(本题满分13分)已知齐次线性方程组Xx12x2 3x3 =0,(2x1 +3x2 +5x3 =0, x1x2 ax3 : 0,x1 +bx2 +cx3 =0,(ii)22x1 +b x2 +(c +
6、 1)x3 =0,同解，求a,b, c的值.(21)(本题满分13分)ACD = T |CTB为正定矩阵，其中 A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为mn矩阵.(I)计算 PTDP，其中 P = Em -A Cl En .(II)利用(I)的结果判断矩阵B -CTA/C是否为正定矩阵，并证明你的结论 (22)(本题满分13分)设二维随机变量(X,Y两概率密度为f (x,y)1, 0 x 1,0 y 2x,：0,其他.求：(I)(X,丫肿边缘概率密度fX(x), fY(y);(II) Z =2X _Y 的概率密度 fZ(z).(III )1PY X 2)为来自总体 N(0,。2 )的简单随机样本，
7、X为样本均值，记丫 =Xj -X,i =1,2,n.求：(I) Yi 的方差 DYi ,i =1,2，n ;(II) Y与X的协方差 Cov(Yi,Yn).(III)若c(Y1 +Yn)2是仃2的无偏估计量，求常数 c.2005年考研数学(三)真题解析、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)2x(1) 极限 limxsin= 2 .J ： x 1 一【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.2x2x【详斛】lim xsin -= lim x=2.x一：x 1 f ： x 1(2)微分方程xy + y=0满足初始条件y(1) = 2的特解为xy
8、= 2 .【分析】直接积分即可.【详解】原方程可化为(xy) = 0 ,积分得xy = C , 代入初始条件得C=2,故所求牛!解为 xy=2.(3)设二元函数 z = xex4y+(x+1)ln(1 + y),则 dz【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解】=ex4y +xex4y +ln(1 + y),:x(1,0)=2edx (e 2)dy.zx -yx 1二 xe 1 y于是 dz = 2edx +(e +2)dy .(1,0) 3(4)设行向量组(2,1,1,1), (2,1,a,a), (3,2,1,a) , (4,3,2,1)线性相关，且 a#1,则1 a=-.2【分析
9、】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定 a.【详解】由题设，有2 12 13 24 3a a1二(a T)(2aT)=0,得a=1,a= 1a2一 ，一 1，但题设a #1 ,故a =一.2(5)从数1,2,3,4中任取一个数，记为 X,再从1,2,，X中任取一个数，记为 Y则PY = 2=1348【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式，且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】PY =2 =PX =1PY =2X =1+PX =2PY =2X =21348+ PX = 3 PY = 2 X = 3 + P X = 4 PY =
10、2 X = 4小 111、(0)2 3 4(6)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为xy0100.4a1b0.1已知随机事件X =0与X +Y =1相互独立，则 a= 0.4, b= 0.1.【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式,由此可确定a,b的取值.【详解】由题设，知 a+b=0.5又事件X =0与X +Y =1相互独立，于是有PX =0,X +Y =1 =PX =0PX +Y =1,即 a=(0.4+a)(a+b)，由此可解得a=0.4, b=0.1二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有 项符合题目要
11、求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)当a取下列哪个值时，函数f (x) =2x3 -9x2 +12x-a恰好有两个不同的零点(A) 2.(B) 4.(C) 6.(D) 8. B 【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析， 当恰好有一个极值为零时，函数 f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】f(x)=6x2 18x+12=6(x1)(x 2),知可能极值点为 x=1,x=2,且f (1) =5 a, f (2) =4 a ,可见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点，故应选(B).(8)设 I1 = Jfcosfx2 +y2dcr , I2 = JJcos(x2 + y2)d。，I3 = Jfcos(x2 +y2)2d。, DDD一2 .2. 一.其中 D =(x,y)x +y I2 I1.(B) 11 I2 I3.(C)12 I1 I 3.(D)13I112. A 【分析】关键在于比较dx2 + y2 、 x2 + y2与(x2 + y2)2在区域D =( x, y) x2 +y2 工1上的大小.【详解】在区域D
