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1、一次函数（第一课时）教学设计陕西省白水县田家炳实验中学 孙李丽【教学内容】：人教版义务教育课程标准试验教科书数学八年级下册第十一章“一次函数”第二节“一次函数”（第一课时）.【教学目标】：1.知识与技能目标：理解一次函数的概念. 明确一次函数与正比例函数的关系，能熟练地确认一个函数是不是一次函数或正比例函数.2.过程与方法目标：从生活实例引入，使数学问题生活化。偶教学于情景中，让学生在充满兴趣的“问题探究”中经历知识的发生、发展的全过程；引导学生运用“观察、发现、类比、联想、讨论、归纳”等学习方法进行数学建模；注意在“合作交流、主动探究、互惠提高”活动的中，加深概念的理解和能力的提高.3.情感
2、与态度目标：关注“弱势群体”使不同的人在数学上得到不同的发展；通过“合作交流、自主探究”体验合作的好处；培养合作精神，通过“学生活数学，过数学生活”激发学生学习数学的热情.【教学重难点】：准确理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数从属关系.【教学过程】：1.创设情景，提出问题师： 同学们，大家见过弹簧秤吗？学生（众）：见过.师：那么，你们想不想知道弹簧秤制作原理呢？学生（众）：想 师：好，我们下面就来研究这个问题：（多媒体显示下面的问题）问题1、某弹簧秤的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧秤的长度Y就增加0.5cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1千克、
3、2千克、 3千克、 4千克、 5千克时的弹簧秤的长度，并填入下表：X（千克）012345Y（cm）师： 认真读题，表中第一栏的数据你会填吗？是多少？学生1：3师：第二栏呢？学生2：3.5师：你是怎样算出来的？学生2：3+0.51师：后边的几栏大家会填吗？会写成第二栏的形式吗？学生们很快都写出后边的答案：3+0.52=4； 3+0.53=4.5； 3+0.54=5； 3+0.55=5.5.（2）你能写出x与Y之间的函数关系吗？学生3：y=3+0.5x.师：这个函数式可不可以写成y=0.5x+3 ? 学生（众）：能师：好，弹簧秤就是根据类似这样的函数关系制作的.我们把y=0.5x+3.收入百宝箱（
4、电脑显示百宝箱和收藏过程）我们再看下面的问题（多媒体显示下面的问题）问题2.某辆汽车油箱中原有油100升,汽车每行驶50千米就要耗油9升,(1) 请完成下表所行路程x（千米）050100150200剩余油量y（升）师：大家会填这个表吗？请同学们类比上一个问题的方法，先独立思考，自己完成填表，再与同桌进行交流，改正错误.（教师巡回检查，发现学生很快写出后边的答案：100；100-91=91；100-92=82；3-93=73；3-94=64；3-95=55.）师：我们再看下面的问题：（多媒体显示下面的问题）(2) 你能算出每行驶一千米的耗油量吗？能写出y与x的关系吗?师：汽车每行驶50千米耗油9
5、升,你能算出每行驶一千米的耗油量吗？学生4：能，行一千米的耗油量=950=0.18师：这就是说每行驶一千米，就耗油0.18升，你能写出余油量y与所行路程x的关系吗?学生5：Y=1000.18X师：根据加法交换律，等号右边还可以怎样写？学生6：y=-0.18x+100师：我们把Y=0.18X+100也收入百宝箱（电脑显示百宝箱及收藏过程）情景3：我们再看第三个问题（多媒体显示下面的问题）问题3.圆的周长是y与半径R的函数关系是-学生7：y=2R 【设计意图】通过三个实际问题，使数学问题生活化，既体现数学的实用性，又能很好的营造教学氛围、激发学习兴趣，让学生通过填表列出函数式，是为了让学生经历函数
6、式的形成过程，为新课探究作好铺垫.师：好，现在我们把百宝箱里的两个函数式都调出来，和y=2R放在一起：（电脑显示三个函数式） y=-0.18x-100 y=2R师：大家想想,这三个函数关系式的结构有什么共同特征？请同学们自己先思考，有想法之后，再与小组内的同伴交流。（学生先自己思考，再与小组同伴交流，两分钟后宣布结果）2.师生合作，探究新知学生8：共同特征是：函数式都是自变量的若干倍与一个常数的和学生9：共同特征是：函数的解析式都是自变量的一次式师：这三个函数既然有这样的共同特征，你能用一个共同的模式表示这三个函数是吗（学生交头接耳，进行交流，一分钟后有人宣布结果） 学生9：都可以表示成的形式
7、.（有些学生似乎不很同意）师：这三个函数都符合这个形式吗？第三个式子呢学生9：符合，第三个式子是 b=0时的特殊情况.师：好！ 你真聪明。大家说，k和b是变量还是常量? 学生（众）: 是常量.师：对，从上面的例子看，b可以为0，也可以不为0，那么k是否也可以等于0呢？你能说明理由吗？ 学生10: 。k=0时，函数式不再是自变量的一次式了师： 那就是说， 的条件是：k、b是常数，且学生11: 是师：既然形如+b（k、b是常数，k0）的函数是自变量的一次式，我们从次数这个角度，应该给这样的函数取一个什么名字呢学生12:一次函数师：好!说得非常好！这正是我们今天要学习的内容（板书课题）【设计意图】设
8、置问题串，对每个问题进行追问，把问题抛给学生，使每个学生经历知识的发生、发展的过程，此处重在引导学生去观察、发现、类比、联想、讨论、归纳，得出一次函数的主要特征，并用合理想像的方法得出一次函数的概念.（多媒体显示一次函数的概念）一次函数的概念：一般地，若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k、b为常数，k0）的形式，则称 y是x的一次函数。（x为自变量，y为因变量。）学生13：老师，好像不对，当b=0时，应该叫正比例函数，怎么会是一次函数呢师：你的问题问得好！那位同学给大家就这个问题，谈谈自己的看法？学生14：我们先看正比例函数是不是自变量的一次式呢学生：是学生14：那么，从自变
9、量的次数方面考虑，他是不是一次函数呢，学生：是，学生13：不过总觉得它很特殊，不是一般的一次函数师：你发现什么地方特殊呢？学生13：他没有常数项师：正是因为这个原因，我们才把它又叫正比例函数（多媒体显示）特别地， 当b=0时，y也叫x的正比例函数师：从这个概念看，正比例函数和一次函数有怎样的关系呢？学生15：正比例函，也是一次函数师：那么反过来呢？一次函数也是正比例函吗？（学生疑惑，进入思考）师：举个例子，张雷，是八年一班的学生.那么反过来，八年一班的学生就是指张雷吗？（学生恍然大悟，不是）师：不是吗？(加重语气)学生又一楞：不一定是师：那么谁能说清正比例函数和一次函数的从属关系呢？学生16：
10、正比例函数属于一次函数，一次函数包括正比例函数师：对，说的好，（多媒体显示下面的内容）正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包括正比例函数一次函数集合正比例函数集合师：如果用下面这个大椭圆表示一次函数的集合，你会在上面再添上正比例函数的集合吗？学生17：在这个椭圆内再画出一个小椭圆，它的内部表示正比例函数集合【设计意图】此处注意捕捉学生的疑问、想法，不失时机地向学生发问. 实现让学生自己钻研、领悟和感受的过程，放手让学生观察、比较，培养学生自主探究、合作交流的意识和能力，从而使学生实现对数学概念和思想方法的心领神会；用集合的观点表示正比例函数与一次函数关系，使从属关系更直观，学生理解起来会更深刻
11、.师：真是太好了！其实，现实生活中的一些数量关系，常常可以用一次函数来表示，下面请同学们以小组为单位，结合生活实际，给函数式y=25x、y=2x-1赋予实际意义，并进行组内交流。(学生4人一个小组，进行讨论，五分钟后由小组长汇报讨论结果)师：谢谢同学们！大家列举的实际意义都非常好，其实我们只要做生活的有心人，就会发现数学就在我们身边.【设计意图】让学生结合生活实际，赋予一次函数实际意义，是为了培养学生的创造力，进一步体验一次函数概念是为了解决实际问题的需要而产生的.3.大胆实践，深化新知 师: 下面我们轻松一下，一起做个游戏，同学们刚好四个大组.现在我宣布游戏规则，四个金蛋中每个组挑选一个，敲
12、开金蛋后，都有一个函数式，让你判断它是一次函数,还是正比例函数，该组内要有一个同学必须回答问题，当然可以由敲蛋的人自己回答，也可以求助组内的其它人回答，答对得10 分，答错得0分.【设计意图】寓教于乐 是课堂呈现轻松愉悦的氛围，使学生在学习过程中身心得到愉悦，精神得到提升，激发学生以更高的热情投入到师生的“学习共同体”之中. （学生非常兴奋,敲开金蛋后，各个金蛋显示的题目分别是如下）（1） ； （2）； （3）y=x； （4）. （预计学生会很快作出正确的解答略，过程略.）师：我们在看第二道游戏题（多媒体显示题目） 写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例
13、函数？ 师：这一次是抢答题，有一定风险，每个金蛋里只有一个小题，敲开金蛋，见到题目后，组内先研究 然后派代表发言 答对一个给该组加20分，答错不加分，还要扣掉10分（学生们既兴奋，又紧张.敲开金蛋后，各个金蛋现实的题目分别如下）（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为Y(千米)与行驶时间X(时)之间的关系;（2）圆的面积y( 平方厘米 )与它的半径x( 厘米)之间的关系（3）一棵树现在高5 0 厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y 厘米。（预计学生会能作出正确的解答略，过程略.）师：好，各组都答得很棒，我们再看第三道游戏题（多媒体显示题目） 我国现行个人工资、薪金所得税征收
14、办法规定：月收入低于1600元的部分不收税：月收入超过1600元但低于2100元的部分征收5%的所得税如某人月收入1960元，他应缴个人工资、薪金所得税为（1960-1600）5%=18（元）。师： 请大家认真读题，这一次风险更大，敲开金蛋后，题目中将包含三个小题，三个小题全答，组内先合作探究 然后派代表发言 答全对时，加30分，答错一小题，全题不加分，还要扣掉10分，请大家注意集体协作。（学生更兴奋 也更紧张，敲开金蛋后，题目分别如下）（1）某人月收入大于1600元而又小于2100元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元） 之间的关系式 并说明函数的类型(2) 某人月收入为1760元，他应
15、缴所得税多少元？(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金是多少元？（预计学生做出正确的解答要慢一些，教师要加强引导，过程略.）对于三道练习，教师做好引导和评价，通过练习了解学生对一次函数和正比例函数的区别和联系的理解情况，并纠正练习中出现的问题.3.你说我说谈收获师：好，游戏结束了，我们的课也快下了，谈谈你这节课的收获，和大家一起分享好吗？【设计意图】学生谈感受，教师做补充，培养学生的数学语言表达能力和自我整理能力，帮助学生形成清晰的知识脉略.（1）一次函数的概念；（2）一次函数与正比例函数的区别与联系；（3）能从实际问题中抽象出函数式并确认他是否一次函数.4.课后延伸，布置作业(多媒体显示)1.阅读课本第2528页的内容.2.收集整理生活中用一次函数表示数量关系的例子.3.书面作业，（1）必做题：第28页的练习题的1.2.3.（2）选做题：已知长方形纸片的长为13
