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1、2019学年北师大版数学精品资料第2课时平面向量基本定理核心必知平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：我们把不共线的两个向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底问题思考1零向量可以作为基底的一个向量吗？提示：不能因为零向量与任何向量都是共线向量2平面向量的基底是唯一的吗？提示：不是平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，当基底一旦确定后，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示3为什么平面向量基本定理中要求e1，e2不共线？提示：若e1e2，则e2e1，a1e1
2、2e2(12)e1故ae1，即用e1，e2只能表示与之共线的向量讲一讲1如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，R，那么下列说法中不正确的是()e1e2可以表示平面内的所有向量；对于平面内任意一个向量a，使得ae1e2的实数对(，)有无穷多个；平面内的任意一个向量a都可以分解为ae1e2的形式，且这种分解是唯一的；若e1e2，则0.ABCD尝试解答由平面向量基本定理知，正确；对于，若e1e2，则0e1()e2，因为e1，e2不共线，所以必有0，正确；对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故不正确答案D1由平面向量基本定理可知：基底不唯
3、一，一组基底中的两向量不共线；平面内的任意向量a都可在给出的基底下进行分解；基底给定时，分解形式唯一，即，是被a，e1，e2唯一确定的一对实数2解决这种概念性问题的关键是深刻理解平面向量基本定理的意义和基底的概念练一练1设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2De1和e1e2解析：选B6e18e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2不能作为平面的基底2设e1，e2是平面内的两个不共线的向量，ae1e2(，R)，有下列结论：若a与e1共线，则0
4、；若a与e2共线，则0；若a0，则0.以上结论正确的是_(填序号)解析：若a与e1共线，则ae1e10e2，0，故不正确，正确；若a0，则e1e20，0，故正确答案：讲一讲2如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知d，试用c，d表示.将代入得ad(ca)adc(2dc)，代入得bc(2dc)(2cd)利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法以及数乘向量进行线性运算，解决此类问题时，要仔细分析所给图形，借助于平面几何知识和向量共线定理及平面向量基本定理解决练一练3. 如图，ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为交点，若b，试以a，b为基底表示.(ab)讲一
5、讲3已知D、E、F分别是ABC的BC、CA、AB边上的中点试用向量法证明：AD、BE、CF交于一点 1利用向量证明几何问题是其工具性的体现操作时，为明确方向，常常选取问题中不共线的线段对应的向量作为基底2就本题而言，充分利用三点共线和基底表示向量的唯一性来构建方程(组)求解，是解决此类问题的关键所在练一练4已知O，A，B，P是平面内的四点，且O，A，B三点不共线，若 (，R)，试求当，满足什么条件时，A，B，P三点共线解：由向量共线定理知，若A，B，P三点共线，则存在唯一由平面向量基本定理可知，唯一1.故当1时，A，B，P三点共线.已知e10，R，ae1e2，b2e1，则a与b共线的条件为()
6、A0Be20Ce1e2 De1e2或0错解若0，则ae1，又b2e1，ab，a与b共线，故选A.错因错解之处在于考虑问题不全面，在应用平面向量基本定理时要注意a1e12e2中，e1，e2不共线这个条件，若没有指明，应对e1，e2共线的情况加以考虑正解若e1e2时，e10，e2t e1(tR)ae1e2(1t)e1b，a与b共线，若e1与e2不共线，要使a与b共线，则atb(tR)，即e1e22te1，亦即(12t)e1e20，0.答案D1设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是()AB C D解析：选B中两向量不共线，由基底
7、的定义知，可以作为基底2下列结论中正确的是()ab存在唯一的实数，使abab存在不全为零的实数1和2，使1a2b0a与b不共线，则1a2b0120a与b不共线不存在实数1，2，使1a2b0A BC D解析：选B对于，若b0，则ab，但当a0时，使ab成立的有无数个，所以不正确；根据向量共线的判定及性质定理知正确；根据平面向量基本定理知正确，不正确，因为a，b不共线时，存在120，使1a2b0.3. 如图，在矩形ABCD中，若5e1，()A.(5e13e2)B.(5e13e2)C.(3e25e1)D.(5e23e1)4已知向量i，j不共线，实数，满足等式3i(10)j2i(47)j，则的值为_，
8、的值为_解析：由3i(10)j2i(47)j得i(35)j0.i，j不共线，得0，.答案： 05若ae13e2，b4e12e2，c3e112e2，则向量a写为bc的形式是_解析：由得，e13e2a，即abc.答案： bc一、选择题1已知e1，e2是不共线向量，a2e1e2，be1e2，当ab时，实数等于()A1B0C D2解析：选D当ab时，atb(tR)，则2e1e2t(e1e2)，即(2t)e1(1t)e20.e1，e2不共线，得2.2已知a，b是不共线的向量，ab，ab，R，若A、B、C三点共线，则，满足的条件为()A2 B1C1 D13在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC中点，若
9、，则的值为()A. B. C D4设起点相同的三个非零向量a，b，3a2b的终点分别为A，B，C，则()AA，B，C是一个三角形的三个顶点BA，B，C三点共线二、填空题5如图，每个小正方形方格的长度为单位1，以向量e1，e2作为基底，则ab_解析：ab2e2e1.答案：2e2e16已知e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作为表示平面内所有向量的一组基底，则实数的取值范围是_解析：若ab，则4，故a，b能作为基底的条件为4.答案：|R且47. 如图，在ABC中，D为AB上一点，若，则_.答案：8ABC中，DEBC，且DE与AC相交于点E，M是BC的中点，AM与DE相交于点N
10、，若 (x，yR)，则xy_解析：如图，DEBC，得xy.答案：三、解答题9设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若4e13e2ab，求，的值解：(1)证明：设ab(R)，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线得不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底(2)设cmanb(m、nR)，得3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.c2ab.(3)由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.故所求、的值分别为3和1.10在平面上给定一个ABC，试推断平面上是否存在这样的点P，使线段AP的中点为M，BM的中点为N，CN的中点为P？若存在，这样的点P有几个；若不存在，说明理由解：假设存在符合要求的点P，如图所示，M是AP的中点，N是BM的中点，由平行四边形法则，
