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1、 冲刺“985”优等生拔高讲义（教师版本）专治学霸各种不服平面向量版快目录问题一 平面向量基本定理的应用问题平面向量问题一直在高中数学中以数学工具的形式出现,它很好的体现了数学知识间的联系与迁移,具体到平面向量基本定理,又在向量这部分知识中占有重要地位,是向量坐标法的基础,是联系几何和代数的桥梁,本文从不同角度介绍定理的应用一、利用平面向量基本定理表示未知向量 平面向量基本定理的内容：如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1,2使=1+2,平面内选定两个不共线向量为基底,可以表示平面内的任何一个向量【例1】如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为,与的
2、夹角为,且,若,则（ ）A. B. C. D. 来源:Z,xx,k.Com【分析】平面向量基本定理实质上是“力的分解原理”,过点C分别作直线的平行线,分别与直线相交,利用向量加法的平行四边形法则和平面向量共线定理将用表示【点评】利用平面向量基本定理表示未知向量时,向量加法的三角形法则、平行四边形法则以及必要的平面几何知识是必要的【小试牛刀】【重庆市巴蜀中学高三上学期期中】在中,若点满足,则（ ）A B C D【答案】D【解析】由,得,因此,因此,故答案为D二、利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题 平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相
3、等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题【例2】【浙江省绍兴市一中高三9月回头考】已知向量满足,若为的中点,并且,则的最大值是（ ）A B C D【分析】首先利用已知条件建立适当的直角坐标系,并写出点的坐标,然后运用向量的坐标运算计算出点的坐标,再由可得所满足的等式关系即圆的方程,设,将其代入上述圆的方程并消去得到关于的一元二次方程,最后运用判别式大于等于0即可得出所求的答案【点评】若题中有互相垂直的单位向量,大多可建立坐标系,转化为代数问题.【小试牛刀】如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点,设向量 【答案】三、三点
4、共线向量式设是共线三点,是平面内任意一点,则,其特征是“起点一致,终点共线,系数和为1”,利用向量式,可以求交点位置向量或者两条线段长度的比值【例3】如图所示,已知点G是ABC的重心,过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且,则的值为 .【分析】g(x)在区间(2,1)内存在单调递减区间可转化为在区间(2,1)有解,且不是唯一解,参变分离为,只需求右侧函数的最大值,再检验等号【点评】本题实质是不等式的有解问题,可先参变分离,转化为求函数的最值问题,但是需注意因为函数单调是对于某一区间而言的,故还需检验解不是唯一【小试牛刀】若点M是ABC所在平面内一点,且满足：.（1）求ABM与ABC的
5、面积之比.（2）若N为AB中点,AM与CN交于点O,设,求的值.解（1）由可知M、B、C三点共线NACBOM如图令来源:学*科 即面积之比为1：4（2）由 由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线四、平面向量基本定理在解析几何中的应用【例4】【安徽省六安一中高三上第五次月考】设双曲线的右焦点为F,过点F与x轴垂直的直线交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设坐标原点为O,若,且,则该双曲线的渐近线为（ ）A B C D【分析】过双曲线的右焦点并与轴垂直的直线,与渐近线的交点坐标为 代入向量运算得到点的坐标,再代入双曲线方程求出离心率,从而渐近线方程可求【点评】解析几何中基本量的计
6、算要注意方程思想的应用和运算的准确性.【小试牛刀】【河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】已知是双曲线（,）的左顶点,、分别为左、右焦点,为双曲线上一点,是的重心,若,则双曲线的离心率为（ ）A B C D与的取值有关【答案】B【解析】因为,所以,所以,即,所以,故选B【迁移运用】1.如图,在平行四边形中,则（ ）(用,表示)来源A BC D 【答案】D【解析】.2设向量,若(tR),则的最小值为（）A B.1 C. D.【答案】D【解析】由已知得,则,在对称轴处取到最小值3.【广西武鸣县高中高三8月月考】直线过抛物线的焦点,且交抛物线于两点,交其准线于点,已知,则（ ）A.2 B. C. D.4
7、【答案】C【解析】过A,B分别作准线的垂线交准线于E,D.因为,所以,且,设,则,根据三角形的相似性可得,即,解得,所以,即,所以,选C.4已知是两个单位向量,且=0若点C在AOB内,且AOC=30,则（）A B C D【答案】C 【解析】以原点,向量所在直线为轴,建立平面直角坐标系,因为AOC=30,设点的坐标为,由得,5在ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,则的值为()A. B. C. D.1【答案】A【解析】M为边BC上任意一点,可设xy (xy1)N为AM中点,xy. (xy). 6. 已知,若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则的面积是（ ）A B2 C D4【答案】D【解析
8、】 因为,所以.设中点为,则,则.在直角三角形中斜边,所以.故D正确.7.过坐标原点O作单位圆的两条互相垂直的半径,若在该圆上存在一点,使得（）,则以下说法正确的是（ ）A点一定在单位圆内B点一定在单位圆上C点一定在单位圆外来源:学D当且仅当时,点在单位圆上【答案】 B【解析】使用特殊值方法求解设在圆上,在单位圆上,故选B8. 在平面上,|=|=1,=+若|,则|的取值范围是()A(0,B(,C(,D(,【答案】D【解析】因为,所以可如图建立直角坐标系,设O(x,y),|=a,|=b,因为=+,所以P(a,b)因为|=|=1,所以由知,点O在以点（a,0)为圆心,1为半径的圆上,所以同理由得,
9、所以又由得,而由可得,即,所以综上所述,即9.在平面直角坐标系中,为坐标原点,直线与圆相交于两点,若点在圆上,则实数（ ）A B C D【答案】C10.如图,在扇形OAB中,C为弧AB上的一个动点若,则的取值范围是 【答案】【解析】如图建立直角坐标系,设此扇形半径为1,所以,由圆的参数方程可知,因为,所以,则有,解得,则,以下用导数方法求解Y函数的最值情况,因为,当时,则,即Y函数在时是单调递减的,所以当时,当时,综上所述,的取值范围是.11. 如图,四边形是边长为1的正方形,点为内（含边界）的动点,设,则的最大值等于 【答案】【解析】如图建立直角坐标系三角形CDB中的点x,y满足不等式组又因
10、为所以将代入可得由图可知,目标函数过点时在轴上的截距最大,即的最大值为12.（20xx北京理13）在中,点,满足,.若,则 ； .【答案】,【解答】在中,点满足,点满足,则,因此,. 问题二 平面向量中的范围、最值问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合一、平面向量数量积的范围问题 已知两个非零向量
11、和,它们的夹角为,把数量叫做和的数量积(或内积),记作.即=,规定,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即=；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1x2y1y2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算【例1】【20xx河北邯郸摸底】在边长为2的等边三角形中,是的中点,为线段上一动点,则的取值范围为 【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量分别表示,结合已知条件设|（）,将用变量表示,进而转化为二次函数的值域问题【点评】将用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要
12、有可操作性【小试牛刀】【20xx福建高考试题理9】已知 ,若点是 所在平面内一点,且 ,则 的最大值等于（ ）.A13 B15 C19 D21【答案】A来源【解析】以点为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则,即,所以,因此由题可得,所以,来源:Z&xx&k.Com所以的最大值等于13,当,即时,等号成立故选A二、平面向量模的取值范围问题 设,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求【例2】【20xx.浙江台州中学】已知向量满足 与的夹角为,则的最大值为（ ）（A） （B
13、） （C） （D）【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围.【解析】设；以OA所在直线为x,O为坐标原点建立平面直角坐标系, 与的夹角为,则A（4,0）,B（2,2）,设C（x,y）来,x2+y2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,表示点A,C的距离即圆上的点与点A（4,0）的距离；圆心到B的距离为,的最大值为,故选：D【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键【小试牛刀】【山西省山西大学附中高三10月月考】已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是（ ） A B
