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1、2. 3.4平面向量共线的坐标表示课前自土学习率稳才能楼削#预习课本P98100,思考并完成以下问题 如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线?新知初探平面向量共线的坐标表示前提条件结论a= (xi, yi) , b= (X2, y2)，其中 b0当且仅当xiy2 X2yi = 0时，向量a、b(b*0)共线Xi y i点睛 平面向量共线的坐标表示还可以写成=(X2 0, 丫2工0)，即两个不平行X2 y2于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a*0, b= 0时，a/ b,此时x$2 X2yi= 0也成立，即对任意向量 a, b都有：Xiy2 X2yi= 0? a / b.小试身手1.
2、判断下列命题是否正确.(正确的打“V”，错误的打“ x”) 已知 a= (Xi, yi), b= (X2, y2)，若 a / b,则必有 Xiy2= X2yi.()(2)向量(2,3)与向量(一4, 6)反向.()答案：V (2) V2. 若向量a= (i,2) , b= (2,3)，则与a+ b共线的向量可以是()A. (2,i)B. ( i,2)C. (6,i0)D. ( 6,i0)答案：C3. 已知 a= (1,2) , b= (x, 4)，若 a/ b,则 x 等于()1 1A. 2 B. 2 C . 2 D . 2答案：D4. 已知向量a= ( 2,3) , b/ a,向量b的起点
3、为A(1,2)，终点B在x轴上，则点 B 的坐标为.7答案：3, 0Z倚寻曲曲课甲:讲瞰设计，毕一陡迪类题向量共线的判定典例 已知向量a= (1,2) , b=(入，1)，若(a+ 2b) / (2 a 2b)，贝U入的值等于( )1 1A. 2B. 3C. 1D. 2uuiruuu(2)已知A(2,1) , B(0,4) , C(1,3) , Q5 , 3).判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解析 法一：a+ 2b= (1,2) + 2(入，1) = (1 + 2 入，4) , 2a 2b= 2(1,2) 2(入，11) = (2 2入，2)，由(a+ 2b) / (
4、2 a 2b)可得 2(1 + 2 入)4(2 2入)=0，解得 入=$法：假设 a, b不共线，则由(a+ 2b) / (2 a 2b)可得a + 2b = 口 (2 a 2b)，从而1 = 2 口，方程组显然无解，即a+ 2b与2a 2b不共线，这与(a+ 2b) / (2 a 2b)矛盾, 2= 2口，1 2 1 从而假设不成立，故应有a, b共线，所以=1，即入=q.答案ALULTUUU(2)解AB = (0,4) (2,1) = ( 2,3) , CD = (5 , 3) (1,3) = (4 , 6),UULTUUU ( 2) X ( 6) 3X 4= 0 , AB , CD 共线
5、.UUUuurUUUT UUU又 CD = 2 AB , AB , CD 方向相反.UULTUUU综上，AB与CD共线且方向相反.向量共线的判定方法(1) 利用向量共线定理，由a=b(b 0)推出a/ b.(2) 利用向量共线的坐标表达式X1y2X2y1 = 0直接求解.活学活用已知a= (1,2) , b= ( 3,2)，当k为何值时，ka + b与a 3b平行，平行时它们的方向 相同还是相反？解：ka+ b= k(1,2) + ( 3,2) = (k 3,2 k+ 2),a 3b= (1,2) 3( 3,2) = (10， 4),若 ka+ b 与 a 3b 平行，则4( k 3) 10(
6、2 k+ 2) = 0,1 1 1解得 k= 3，此时 ka + b= 3a + b= 3( a 3b)，故 ka+ b 与 a 3b 反向.1 k= 3时，ka+ b与a 3b平行且方向相反.1三点共线冋题uuuuuuLULT典例已知 OA = (3,4) , OB = (7,12) , OC = (9,16)，求证：A B, C三点共 线；uuuUUUUULT(2)设向量 OA = (k, 12) , OB = (4,5) , OC = (10 , k)，当 k 为何值时，A, B, C 三 占八、共线？UULTUUU UUU解证明：T AB = OB OA = (4,8),UULTuur
7、 UUUAC = OC 一 OA = (6,12),UULT 3 UUUTUUUT UUUT二 AC = 2 AB，即 AB 与 AC 共线.UULTUULT又T AB与AC有公共点A,. A, B, C三点共线.UULTUULT(2)若A, B, C三点共线，则 AB , AC共线，UULTUUU UUUt AB = OB OA = (4 k, 7),UULTUULTUUUAC = OC OA = (10 k, k 12),(4 k)( k 12) + 7(10 k) = 0.解得k= 2或k = 11.有关三点共线问题的解题策略UULTUULTUULT UULTUULTUULT(1) 要判
8、断A, B, C三点是否共线，一般是看AB与BC，或AB与AC，或AC与BC 是否共线，若共线，则 A, B, C三点共线；UULTUULTUULT(2) 使用A, B, C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用AC =入BC，或AB =UULTUULTUULT入BC，或AB =入AC都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式.活学活用UULTUUU设点Ax, 1) , B(2x, 2), C(1,2 x) , D(5,3 x)，当x为何值时，AB与CD共线且方向相同，此时，A, B, C D能否在同一条直线上？UULT解：AB = (2 x, 2) (x, 1) = (x, 1),UULTB
9、C = (1,2 x) (2 x, 2) = (1 2x, 2x 2),UUUCD = (5,3 x) (1,2 x) = (4 , x).UULTUUT2由AB与CD共线，所以x = 1X 4,所以x = 2.UULTUUU又AB与CD方向相同，所以x= 2.UULTUULT此时，AB = (2,1) , BC = ( 3,2),#uuir uuir而2X 2M 3X 1,所以 AB与BC不共线,所以A, B, C三点不在同一条直线上.所以A, B, C, D不在同一条直线上.向量共线在几何中的应用题点一：两直线平行判断1.如图所示，已知直角梯形CEL AB于E,用向量的方法证明:ABCD
10、ADL AB AB= 2AD= 2CD 过点 C 作DE/ BC证明：如图，以E为原点,AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，luiruuur设 | AD | =1，则 | DC |/ CEL AB 而 AD= DC四边形AECD正方形,uuur| AB | = 2.,B(1,0), 可求得各点坐标分别为E(0,0)uuurED = ( 1,1) (0,0) = ( 1,1),UJLTBC = (0,1) (1,0) = ( 1,1),uuuruuruuuruuur- ED = BC , ED / BC，即 DE/ BCqo,i), d( i,i).题点二：几何形状的判断2.已
11、知直角坐标平面上四点A(1,0) , B(4,3) , C(2,4) , D(0,2)，求证：四边形 ABCD是等腰梯形.uuur证明：由已知得，AB = (4,3) (1,0) = (3,3),uuuCD = (0,2) (2,4) = ( 2, 2).uuuruuu 3X ( 2) 3X ( 2) = 0, AB 与 CD 共线. uuuruuurAD = ( 1,2) , BC = (2,4) (4,3) = ( 2,1),uuuruuur( 1) x 1 2X ( 2)丰0, AD 与 BC 不共线.四边形ABCD1梯形.unruuurBC = ( 2,1) , AD = ( 1,2)
12、, uuuruuur-1 BC | = ,5=| AD | ,即 BC= AD故四边形ABCD1等腰梯形.题点三：求交点坐标3.如图所示，已知点 A(4,0) , B(4,4) , Q2,6)，求 AC和 OB交占八、P的坐标.uuu uuu解：法一：设 OP = t OB = t (4,4)=(4t, 4t),UULTUUU UUU则 AP = OP - OA = (4 t, 4t) (4,0) = (4t 4,4 t),UULTUULTUUUAC = OC OA = (2,6) (4,0) = ( 2,6).UULTUULT由 AP , AC 共线的条件知(4t 4) X 6 4t X (
13、 2) = 0,3 UUU解得 t = 4. OP = (3,3).P点坐标为(3,3).法二：设 P(x, y),UUUUUU则 OP = (x, y) , OB = (4,4).UUU UUU- OP , OB 共线， 4x 4y= 0.UUUUUU又 CP = (x 2, y 6) , CA = (2 , 6),UUU UUU且向量CP , CA共线， 6(x 2) + 2(6 y) = 0.解组成的方程组，得x = 3, y= 3 ,点P的坐标为(3,3).应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤课后层级训练.歩歩提升能力层级一学业水平达标1.卜列向量组中，能作为表示匕们所在平面内所有向量的基底的是()A.e1= (0,0) , e2= (1 , 2)B.ei= ( 1,2) , e2= (5,7)C.e1= (3,5) , e2= (6,10)#13D. ei= (2 , - 3), e2= 2， 41解析：选 B A 中向量ei为零向量，ei/e2；C中
