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1、第六章 习题答案6.1-1 求解下列本征值问题的本征值和本征函数。（1）（2）（3）（4）解：（1）时，代入边界条件得和得到，不符合，所以时，代入边界条件得，所以： （2）时，代入边界条件得和，所以存在。时，代入边界条件得，综合：本征值：本征函数：（3）时，代入边界条件得和，不符合。时，代入边界条件得，本征函数：（4）时，代入边界条件得和，得到，故。时，代入边界条件得解得：得，所以本征函数：6.1-2 单簧管是直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放。试求管内空气柱的本征振动，即求解定解问题。 解：设,代入原方程有： 代入边界条件有:和 (1)先求解本征值问题时,有， 代入不成立 设 代入 (2)
2、再求 即 可得故单簧管的振动为：6.1-3一根均匀弦固定于和两端,假设初始时刻速度为0,而初始时刻弦的形状为一条抛物线,其顶点为，求弦振动的位移。解:波动方程: 初始条件: 边界条件: 设,分别代入方程和边界条件可得: 和 本征值问题的解为: 而 代入初始条件有: 而 它只有奇次谐波6.1-4演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手让其自由振动，设弦长为，被拨开的点在弦长（为正整数）处拨开距离，试求解弦的振动。解：设弦的位移为，则波动方程为： 边界条件: 初始条件: 令，代入方程和边界条件得： 和 本征值问题的解为: 而 代入初始条件有:所以：积分有：所以有6.1-5 长为两端固定
3、的弦，用宽为的细棒敲击弦上点，亦即在处施加冲力，设其冲量为，弦的单位长线密度为，求解弦的振动。解：波动方程： 边界条件： 初始条件: 令，代入方程和边界条件得： 和 本征值问题的解为: 而，所以 代入初始条件有:积分：所以有：6.1-6 长为的杆，一端固定，另一端受力而被拉长。求解杆在去掉力后的振动，设杆的截面积为，杨氏模量为。解： 杆的纵振动为自由振动方程为边界条件： （自由端，形变为0）初始条件： ， 因为：在端，设伸长量为，则故在杆的其它任意一点，伸长量为（按比例伸长）求解此定解问题，设，代入原方程和边界条件有： 和求得本征值为： 本征函数为：常微分方程为： 所以：代入初始条件：而 6.
4、1-7 长为的均匀杆，由于两端受压而使得长度为，放手后任其自由振动，求解杆的振动。解：波动方程： 边界条件：（两端形变为0）初始条件：位移 （表达式与坐标系和选取有关） 速度 下面讨论位移的表达式。左半边:位移为，处位移为0。设处伸长量为，按比例有：则 右半边：位移为0，处位移为。则所以在整个范围内位移都可以表示为下面求解定解问题，设，代入方程和边界条件得： 和，其中本征值问题的解为：本征值：本征函数： 而，所以 代入初始条件有： 6.1-8 长为的杆，上端固定在电梯的天花板上，杆身竖直向下，下端自由。当电梯以速度下降时突然停止，求解杆的振动。解： 波动方程： 忽略重力 边界条件：（下端自由，
5、形变为零） 初始条件：设,代入方程及齐次边界条件有： 和，本征值问题的解为：本征值：本征函数：所以：代入初始条件有：积分：所以：6.2-1一个长宽均为的方形膜，边界固定，膜的振动方程为，求方形膜的本征频率。解：令，代入波动方程有： 边界条件为：将代入上述边界条件得：令，代入有：得到关于、的本征值问题：所以而关于的常微分方程为：所以周期，本征频率6.2-2 有一长为,杆身与外界绝热的均匀细杆，杆的两端温度保持摄氏零度，已知其初始温度分布，求在时杆上的温度分布。解: 这是一个一维热传导问题，定解问题为： 方程： 边界条件： 初始条件： 设，将其代入热传导方程有： 将代入边界条件有：先解本征值问题：
6、 得本征值，本征函数 而 代入初始条件有所以故 6.2-3一长为的杆身和两端绝热，初始时，求其温度变化规律。解：热传导方程： 边界条件： 初始条件：设，代入方程和边界条件得：和解本征值问题可得：将代入含时的微分方程有：特解：所以：将上式代入初始条件有：积分有：（1）时，上式化为：（不要忘记此项）（2）时，因为所以有：故6.2-4一长为的细杆，杆身绝热，初始温度是均匀的，让其一端温度保持0不变，另一端绝热，求杆上的温度分布。解：热传导方程： 边界条件：初始条件：设，代入方程及边界条件，分离变量有：和解本征值问题可得：将代入含时的微分方程有：特解：所以：将上式代入初始条件有：积分有：即：6.2-5
7、 在铀块中，除了中子的扩散运动外，还进行着中子的增殖过程，每秒钟在单位体积内产生的中子数正比于该处的中子浓度，从而可表为（表示增殖快慢的常数），研究厚度为的层状铀块，求其临界厚度。解：一维扩散方程为：假定边界条件为：设，代入扩散方程有：所以：将代入边界条件有：所以而故一般解为：若：，浓度随时间增加而增长，发生核爆炸；，浓度随时间增加而减小，反应堆熄火；，不随时间变化，反应堆稳定。考虑，临界厚度。6.3-1 在矩形区域内求拉普拉斯方程的解。使其满足边界条件 。解：（1）在直角坐标系中分离变量设，代入二维拉普拉斯方程，有：所以：（2）对 代入齐次边界条件 有： 关于的本征值问题（3）对代入的值有：
8、 时有： 时有：（4）由叠加原理可得一般解为 （5）代入另外两个边界条件 有： 所以： 而等式两边同时乘以，并在上对积分，有： 当时，上式变为积分可得：当时，积分可得：所以：6.3-2求一个长而薄的圆柱面内的电势，该圆柱被微小间隙分成两半，上半片上电势为，下半片上电势为零，该圆柱的半径为。解：电势满足的方程为：采用极坐标形式：边界条件：自然周期条件：圆柱面内有界条件：时，有界，为有限值。令，代入并分离变量有：对有：对有：令，代入有：，其解为所以：当时，为有限值。但， ，所以（并入）边界条件：6.3-3一圆环形平板，内半径为，外半径为，侧面绝热，如果内圆保持在，外圆温度保持在，求稳恒状态下的温度
9、分布。解：温度满足二维拉普拉斯方程：边界条件：自然周期条件：设代入方程有：考虑自然周期条件有，本征值问题为：，其解为：Euler方程的解为：所以：代入边界条件有：所以有：由上面四个式子可得：， 任意。所以得：6.3-4一半经为的半圆形平板，其圆周边界上的温度保持为。而在直径边界上的温度保持为，板的侧面绝热，求稳恒状态下的温度分布。（为常数）解：这是一个二维稳定温度场的问题。方程：边界条件：令，代入并分离变量有：将代入齐次边界条件有：和关于的本征值问题为：故Euler方程的解为：所以：为保证在为有限值，应要求代入边界条件：故：6.3-5 设有无穷长圆柱体，半径为，在热传导过程中内部无热源，而边界
10、上保持温度，当圆柱体内温度分布达到稳定时，求温度分布。解：方程为：边界条件：自然周期条件：圆柱体内有界条件：时，取有限值。令，代入并分离变量有：将代入自然周期条件有：所以：对应的Euler方程的解为所以：当时，为保证取有限值，则（并入）边界条件：则由Fourier Series 理论有：6.3-6 利用恒等式，其中，证明上题的级数可表示成积分形式这个公式称为圆域内的泊松公式。证明：令， 则且有，另外，将、代入有 （利用恒等式）（将代入）6.4-1求解定解问题。解：这是一个非齐次方程齐次边界条件的问题，按本征函数展开。（1）设，其中满足非齐次方程和零初始条件：而满足齐次方程和非零初始条件：（2）
11、求解定解问题，确定本征函数系。设 ，代入方程有：将代入边界条件最后得到关于的本征值问题所以：代入初始条件有：（3）求解定解问题,将按本征函数系展开。设代入方程和初始条件有: （两次分部积分） 解关于的初值问题，有:，代入有：所以： 6.4-2 求解定解问题解：设，关于边界，均为齐次条件（1）代入相应的齐次方程有：相应的边界条件分解为，可得本征值问题如下：将按本证函数集展开有：代入原方程及关于的边界条件有：设代入关于的方程有：所以：代入边界条件得：解得：所以有：则：因为：6.4-3 在圆域上求解，边界条件为。解：用平面极坐标求解：设，则在极坐标系中的表达式为其对应的齐次方程对应的本征函数系为【 注：本征值，本征函数为，的组合或单独用表示，依据由条件而定 】将，按展开，有：将代入原方程有：即：所以：时，
