高中数学第五章三个重要不等式5.3贝努力不等式学案湘教版选修4-5

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高中数学第五章三个重要不等式5.3贝努力不等式学案湘教版选修4-55.3 贝努利不等式概念贝努利不等式:对任意整数,和任意实数,有成立;如果是偶数,则不等式对任意实数成立。可以看到在,或时等号成立;而对任意正整数和任意实数,有严格不等式:。贝努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。贝努利不等式的一般式为:,当且仅当n=1时等号成立。证明设,则。证用数学归纳法证明。当时,易知上述不等式成立,设对,有:成立,则即,有。推广下面把贝努利不等式推广到实数幂形式:若或,有;若,有。证通过微分进行证明。如果,则结论是显然的。如果,作辅助函数,那么,则;下面分情况讨论:1. ,则对于,;对于,。严格单增,因此,在处取最大值0,故得。2. 或,则对于,;对于,。严格单减,因此,在处取最小值0,故得。1

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