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1、圆锥曲线第二定义圆锥曲线的第二定义（平面内到定点与到定直线距离的比为常数e 的点的轨迹）是圆锥曲线概念的重要组成部分。揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础，而且在很多数学问题的求解过程中，具有不可低估的特殊功能。一、导向功能圆锥曲线第二定义对许多问题的求解，具有明显的导向作用，优先考虑第二定义，有助于启迪思路，理顺解题线索。例 1：椭圆 x225+y29=1 上有一点P，如果它到左准线的距离为52，那么 P 到右焦点的距离是。分析 解题之前一定要认真审题，对有关曲线上一点到焦点、准线距离的问题，首先联想到圆锥曲线的第二定义。 解 设 P 到左准线距离为PM由椭圆第
2、二定义PF1PM=e PF1=ePM=45 52=2又 PF1+PF2=2a=10 PF2=8例 2：F2 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b0)的右焦点， P(x0,y0) 是椭圆上任一点，则PF2 的值为：A. ex0-aB. a-ex0C. ex0-aD.e-ax0分析 针对题中要求PF2 的值，且各选项中含有e，从椭圆第二定义入手，问题不攻自破。解 设点 P(x0,y0) 到椭圆右准线x=a2c 的距离为 PN ，则 PN=a2c-x0根据椭圆第二定义PF2=ePN=e(a2c-x0)=a-ex0 ，故选 B。二、简化功能巧用圆锥曲线的第二定义，可以简化复杂的变形与讨论，使问题简捷
3、获解。例 3：过抛物线y2=4x 的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，若线段的中点的横坐标为 3，则 AB=。分析 若按求焦点，设直线方程、联立方程组求AB 过程繁琐，因此从定义出发。解 过 A 、 B 两点向准线引垂线AM 、 BN设 AB 中点为 C(3,y0) ，过 C 向准线引垂线 CH，则 CH 是直角梯形 ABNM 的中位线。 AM+BN=2CH抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0)，准线为x=-1所以有 AB=AF+BF=AM+BN=2CH=2（ 3+1） =8例 4：已知椭圆方程为 x2b2+y2a2=1(ab0) ，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为
4、顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标。分析 本题若通过解椭圆与双曲线联立的二元二次方程组求交点将十分麻烦。 解 如图：设所求双曲线为x2 2-y2 2=-1 ，依题意 c2=a2-b2= 2+ 2(c 为半焦距 )，两个焦点为F1、 F2，则 PF1 是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P(x1,y1) ，则PF1=e PK=e1 PK1 PF1=caa2c-y1=c y1- 2c a-cy1a=cy1 - = y1=a c代入椭圆或双曲线方程得x1=b c，于是以它们四个交点为顶点的四边形面积为：S=4(ab c2) 2ab ( 2+ 2) c2=
5、2ab当且仅当 = =c 2 = 2(a2-b2)2 时， Smax=2ab故所求双曲线方程为x2-y2= - （ a2-b2） 2由对称性，四个顶点的坐标分别为：( 2b2, 2a2),(- 2b2, 2a2),(- 2b2, -2a2), (2b2,- 2a2)三、显隐转化功能从圆锥曲线的第二定义出发，分析题目的结构特征，有助于挖掘隐含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决。例 5：已知椭圆 x24+y23=1 内有一点 P(1,-1)，F 为右焦点，椭圆上有一点 M ，使 MP+2MF 值最小，求点 M 的坐标。分析 按常规思路，设M(x,y) 求出右焦点F(1,0)则
6、MP+2MF= （ x-1） 2+(y+1)2+ 2 (x-1)2+y2由此表达式求最小值是比较困难的，联想椭圆方程中隐含的特征量，发现式中的2 即1e，故 2MF 即为 1eMF解 由椭圆第二定义MFMN= eMN= MFe当 MN 与 PM 共线，即过 P 作准线 x=a2c 的垂线这条线与椭圆的交点就是所求的点M此时 M(2 63,-1)四、联络功能对于一些需综合运用各种数学思想方法和解题技巧的数学问题，圆锥曲线的第二定义，可在其中起到桥梁作用，使解题思路连贯畅通。例 6：已知双曲线x225-y2144=1 的左右焦点分别为F1 和 F2，能否在双曲线的左支上找到一点P，使 PF1 是 P 到左准线的距离d 与 PF2 的等比中项？若能，求出P 的坐标，若不能，说明理由。分析 这是一道存在性探索问题，解题思路一般是：先假设存在，然后在合理的计算、推理或求解过程中做出准确的判断。圆锥曲线第二定义起到了条件联络转化的作用。解 根据题意： PF12=dPF2,即 PF2PF1=PF1d= e PF2= ePF1 PF2-PF1=2a=10 c=13 e=13513PF15-PF1=10PF1=254 PF2=654PF1+PF2=452又F1F2=26从而 PF1+PF2F1F2 矛盾符合条件的点P 不存在。
