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1、前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）适当看一些辅（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1.计算(xy)ln(1-)D.1xxdxdy16/15,其中区域D由直线xy1与两坐标轴所围成三角形区域.解：令xy u,x v,x v, y0 v , dxdy detdudvdudv,2u,.du(*)duJ1u ,则 u2tdt, u21t22t2t4, u(1 u)t2(1t)(1t)2.设f（x）是连续函数，且满足f (x) 3x220 f(x)dx2,则f (x
2、)2解：令Af(x)dx,则f(x)3.曲面z解得A解:(3x2A2)dx2因此f (x) 3x因平面2x8 WA 2)10O2平行平面2x 2y z 0的切平面方程是2y z 0的法向量为（2,2, 1）,而曲面2A,2x 2z y 2在(x0,y0)处的法2向量为(Zx(xo,yo),Zy(xo,yo),1),故(zx(x0,y),Zy(x,y),1)与(2,2,1)平行,因此,zy(x0,y0) 2y,由zxx,zy2y知2zx(x0,y)x,2即 x02, y01,又 z(x0,y0)z(2,1)5,于是曲面2x 2y z 0在（x0, yo,z（x0, y。）处的切平面方程是 2（x
3、2)2( y 1) (z 5) 0,即曲面2平行平面2x2y z0的切平面方程是2x 2y1 0。4.设函数y d2yy（x）由方程xef（y）ey In 29确定，其中f具有二阶导数，且 f 1,则dx2解：方程xef（y）eyln29的两边对x求导，得1因eyIn29xef(y)，故f(y)y，xx2x二、(5分)求极限iim(e一ex0n解：因故1,因此x(i f (y)nx e广，其中n是给定的正整数.三、(15分)设函数f(x)连续，g(x)g (x)在x 0处的连续性.1 f(xt)dt,且f(x)xA, A为常数，求g (x)并讨论因此解：由limf(x)A和函数f(x)连续知，
4、f(0)limf(x)x0xx011因g(x)0f(xt)dt,故g(0)0f(0)dtf(0)0,1x因此，当x0时，g(x)f(u)du,故x0当x0时，g (x)0 f (u)duf(x)x这表明g(x)在x0处连续.四、(15分)已知平面区域D (x, y)|0 x,0 y , L为D的正向边界，试证:sinysinxsinysinx(1) oxe，dyyedxxedyyedx;LLsinysiny52(2) oxe，dyyedx一证：因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知sin ysin x(1) 口xe dy ye dxLsin y (xe ) x(ye sinx) dx
5、dy y而D关于x和y是对称的，即知因此(2)因故 由知即 ： xesinydy ye sinydx 5 2五、(10 分)已知 y1xex e2x , y2x xxe e , y3xexe2xe x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.x 2xx x解设 y1xe e , y2xe e , yxex e2x e x是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则y2y1 exe2x和y3y1都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此y by cy 0的特征多项式是( 是2)(1) 0,而y by cy 0的特征多项式因此二阶常系数线性齐次微分方程为yy2y0,由y1y12y1f(
6、x)和xx2xxx2xy1exe2e,y12exe4e知，f (x)yi yi 2yixxex2xxx2xx2x.2e4e(xee2e)2(xee)二阶常系数线性非齐次微分方程为2六、(10分)设抛物线yaxbx2lnc过原点.当0x1时，y0,又已知该抛物线与x轴及1直线x1所围图形的面积为1.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.32解因抛物线yaxbx2lnc过原点，故c1,于是即而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积即令218V(a)-a-(12a)(1a)0,5327得即因此5-3.a,b,c1.4 2n1xe七、(15分)已知Un(x)满足un(x)Un
7、(x)xe(n1,2,),且un(1)-,求函数项级数nUn(x)之和.n1解Un(x)Un(x)xnx,即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此,e1、由一Un(1)e(C)知，C0,nn于是下面求级数的和：令则由一阶线性非齐次微分方程公式知S(0)un(x)的和n1等价的无穷大量.八、（10分）求2时，与xnn0f(t)t2x，则因当0x1,t(0,)时,t2(t)2txlnx0,故f(t)即t2xt2lnx在(0,）上严格单调减。因此f(t)dtf(n)0f(t)dtf(n)0n所以,0 f出xt2dt21nl x1时，与2xn等价的无穷大量是n 0ln1 2x2010-2012年第二届全
8、国大学生数学竞赛预赛试卷（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目,些各大高校的试题。）、（25分，每小题5分）(1)xn(1a)(122n、a)L(1a),其中|a|1,求“mxn.(2)limXx2(3)esxxndx(n1,2,L)。(4)设函数f（t）有二阶连续导数，rJx22y,g(x,y)2g,求2x2g_o2y(5)求直线1i0x2与直线l2:4解:（1）xn(1a)(1a2)L(1a2n)=xn(1a)(1a)(1a2)L(1a2)/(1a)=(1a2)(1a2)L(1a2n)/(1a)=L=(12n1)/(1a)limx令x=1/t,原
9、式=limet0(ln(1t)12t)lnelimex1/(1t)1lime2t(1122)xxlimexx2ln(11),xlimt0In(3)nsxxndx1)snsxxde1)ssx|0esxdxnsxxn1dxnIn1sn(n1)I2Ins*0sn!n1s二、(15分)设函数f(x)在()上具有二阶导数，并且f(x)0,limfx(x)0,limf(x)x0,且存在一点Xo,使得f(Xo)0。证明：方程f(x)恰有两个实根。解：二阶导数为正,大于0的值。则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两将f(x)二阶泰勒展开：因为二阶倒数大于0,所以limf
10、(x)xximf(x)证明完成。三、(15分)设函数yf(x)由参数方程x2tty(t)2(t1)所确定，其中(t)具有二阶导数，曲t2(t)与y,e12du在t2e1出相切，求函数(t)。解:(这儿少了一个条件d2ydx2t2eu23du在t1出相切得2e32ed2ydx2d(dy/dx)dxd(dy/dx)/dtdx/dt(t)(22t)2(22t)3(t).上式可以得到一个微分方程，求解即可。n四、(15分)设an0,Snak,证明:k1(1)i时，级数曳收敛;niS(2)i且Sn(n）时,级数n曳发散。i5解:(1)an0,Sn单调递增ani收敛时,anSnSian收敛,Si所以a收敛
11、;Snani发散时,limnsn所以,ansndXSndXSnS而1Sidxai所以,SilimniSniiSiaiSik,收敛于koa,收敛。Sn(2)QnimSn所以nan发散，所以存在ki,使得kianI2ai丁TH,kianSikianSnkian2Ski依此类推，可得存在kik2使得ankiSni一成立,2所以kN时,anSnanniSnNT发散五、（I5分）设l是过原点、方向为（，），（其中I）的直线，均匀椭球222xyz221，其中(0cba,密度为1)绕l旋转。abc(1)求其转动惯量；(2)求其转动惯量关于方向(，)的最大值和最小值。解：(1)椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离由轮换对称性，(2)Qabc.42,2、当1时，Imaxabc(ab)15当1时，Imin-4abc(b2c2)15六、(15分)设函数(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分2xydx(x)dy/小?y产上的值为常数。cxy(1)设L为正向闭曲线(x2)2y21,证明？2xydx(x)dy0;cxy(2)求函数(x)；(3)设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求2xydx (x)dy解：(1)L不绕原点，在L上取两点
