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1、3.1直线的倾斜角与斜率一、学习重、难点学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.二、课题引入：问题1：对平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由那些条件确定？（两点）问题2：一点能确定一条直线吗？经过一点的直线的位置能够确定吗？它的位置会怎样？（观察可以发现过一点有无数条直线并且它们发生了不同程度的倾斜）直线在倾斜时与那个量有关？怎样描述直线的倾斜程度呢？问题3：什么是直线的倾斜角？它的范围怎样？定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准, 叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0
2、.范围：倾斜角的取值范围是 特别：当 时，称直线l与x轴垂直 问题4：除了倾斜角还有其他确定直线倾斜程度的量吗？什么是直线的斜率？只有倾斜角或斜率能确定一直线的位置吗?若不能还需要加什么条件？（1）直线的斜率：一条直线的倾斜角(90)的 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k = .当直线l与x轴平行或重合时, = , k = ;当直线l与x轴垂直时,= , k .（2）直线的斜率公式:已知直线的倾斜角,则k= 经过两个定点 P1(x1,y1) , P2(x2,y2) 的直线： 若x1x2，则直线P1P2 的斜率存在，k= 若x1x2，则直线P1P2的斜率 已知直线方程，将方程化成斜
3、截式y=kx+b，则x项的系数就是斜率k,也可能无斜率.问题5：直线的倾斜角和斜率有什么关系？它们是一一对应的吗？（牢记公式） （1）（2）平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有，倾斜角为90的直线没有斜率，在使用斜率来研究直线时，经常要对直线是否有斜率分情形讨论.（3）倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率等于倾斜角的正切值，在以后的学习中将体会到，研究直线时，使用斜率常常比使用倾斜角更方便.课堂小练1.已知直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角是 .2过点M(2, a), N(a, 4)的直线的斜率为，则a等于( )A.
4、8 B.10 C.2 D.43试求m的值,使过点的直线与过点的直线(1)平行 (2)垂直4. 两条直线平行与垂直的判定两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 ;两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 .三、达标训练：1.如图，图中的直线、的斜率分别为k1, k2 ,k3,则( )A. k1 k2 k3 B. k3 k1 k2 C. k3 k2 k1 D. k1 k3 k22、若经过P（2，m）和Q（m，4）的直线的斜率为1，则m=（ ）A、1 B、4 C
5、、1或3 D、1或43、直线经过原点和（1，1），则它的倾斜角为（ ）A、45 B、135 C、45或135 D、454、ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率.5、若经过点P（1，1）和Q（3，2）的直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围.6已知直线过点A（2，-1）和B（3，2），直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率. 7已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值8已知的顶点，其垂心为，求顶点的坐标9已知四边形ABCD的顶点为,求mn的值,使四边形ABCD为直角梯形.10.当斜率k
6、的范围如下时，求倾斜角的变化范围： 11.设直线L过坐标原点，它的倾斜角为，如果将L绕坐标远点按逆时针方向旋转，得到直线L1那么L1的倾斜角为 ( ) A. B. C. D.12.已知A（1，-1），B（2,2），C（3,0）三点，求点D的坐标，使直线且CB/AD.13.已知两点A（-3,4），B（3,2），过点P（2，-1）的直线L与线段AB有公共点，求直线L的斜率k的取值范围变式：若三点A（3,1）,B(-2,k)，C（8,1）能够成三角形，求实数k的取值范围。四、课后作业1.下列命题正确的个数是 ( )1) 若a是直线L的倾斜角，则 2）若k是直线的斜率，则3）任一直线都有倾斜角，但不一
7、定有斜率 4）任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角A1 B.2 C.3 D.42.直线L过, 两点，其中则 （ ）A.L与x轴垂直 B. L与y轴垂直 C.L过原点和一，三象限 D.L的倾斜角为3.已知点,直线L的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，则L的斜率为 （ ） A.1 D.不存在4.直线L经过二、三、四象限，L的倾斜角为a，斜率为k，则 （ ） 5.已知直线L的倾斜角为，则此直线的斜率为 。6.若三点共线，则a= 7.已知四边形ABCD的顶点为,求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形。3.2直线的方程一、学习重点、难点：直线的点斜式方程和斜截式方程，直线方程两点式。 直线方程的一般式。二
8、、学习过程：问题1、在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？ 问题2、直线经过点，且斜率为。设点是直线上的任意一点，请建立与之间的关系。问题3、（1）过点，斜率是的直线上的点，其坐标都满足方程（1）（2）坐标满足方程（1）的点都在经过，斜率为的直线上吗？ 1、点斜式：直线过点,且斜率为k，其方程为 .问题4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？问题5、（1）轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？（2）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？ （3）经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是什么？ 问题7、已知直线的斜率为，且与轴的交点为，求直线的方程。问题8、
9、观察方程，它的形式具有什么特点？问题9、直线在轴上的截距是什么？2.斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b,其方程为 .注意：点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为 .例2.直线。试讨论：（1）平行的条件是什么？（2）垂直的条件是什么？练习：（1）.写出满足下列条件的直线方程经过点倾斜角是120斜率是-2,在y轴上的截距是-4过点在x轴,y轴上的截距分别是（2）.直线化成斜截式为 ,该直线的斜率是 ,在x轴上的截距是 .问题10、利用点斜式解答如下问题：已知两点其中，求通过这两点的直线方程。3
10、两点式：直线经过两点,其方程为 . 问题11、若点中有，或，此时这两点的直线方程是什么？例3已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中，求直线的方程。4截距式：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为 .注意:两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.当时,直线方程可表示为; ;当时,直线方程可表示为; ;练习（1）过点(5，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是_(易错题)（2）经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。问题12、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于的二
11、元一次方程（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？5一般式：所有直线的方程都可以化成 _ ，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程 _ ,表示斜率为 ，y轴上截距为 的直线.问题13、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题14、在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于轴；（2）平行于轴；（3）与轴重合；（4）与重合；（5）过原点。三、达标测试7.已知ABC在第一象限,若A(1,1),B(5,1),A=60B=45,求：（1）边所在直线的方程；（2）边和所在直线的方程.8. 三角形ABC的三个顶点A（3，0）、B（2，1）、C（2，3），求：
12、（1）BC边上中线AD所在直线的方程; (2）BC边的垂直平分线DE 的方程.9. （1）求经过点且与直线平行的直线方程；（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.10. 过点P(2,1)作直线l 交x 、y正半轴于A、B 两点，当ABO的面积取到最小值时，求直线l的方程.四、课后作业1过两点和的直线在轴上的截距为( ) A. B. C. D. 22.已知，则过点，的直线的方程是 ( ) A. B. C. D. 3.已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是( )A BC D4. 设点在直线上,求证这条直线方程可以写成.5. 已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程3.3直线的交点坐标与距离公式一、学习重点、难点：1、判断两直线是否相交，求交点坐标；2、平面内两条直线位置关系；3、距离公式。二、学习过程(一) 交点坐标：1.点A（a,b）在直线L：Ax+By+C=0上,则满足条件:
