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1、微积分基本知识第一章、 极限与连续一、 数列的极限1. 数列定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数X!,K,X n,L叫数列，记作Xn ,并吧每个数叫做数列的 项，第n个数叫做数列 的第n项或通项界的概念：一个数列xn，若 M 0, s.t对n N*，都有xn M，则称人是有界的：若不论M有多大，总 m N*， s.t xm M，则称xn是无界的若a Xn b，则a称为Xn的下界，b称为x.的上界Xn有界的充要条件：Xn既有上界，又有下界2. 数列极限的概念定义：设Xn为一个数列，a为一个常数，若对0，总 N ,s.t当n N时，有Xn a则称a是数列Xn的极限，记作lim Xn a或Xn
2、 a(n )n数列有极限时，称该数列为 收敛的，否则为发散的几何意义：从第N 1项开始，xn的所有项全部落在点a的邻域(a ,a )3. 数列极限的性质唯一性收敛必有界保号性：极限大小关系数列大小关系(nN时)函数的极限1定义：两种情形 X X0 :设f (X)在点X0处的某去心邻域内有定义，A为常数，若对0，s.t 当 0时，恒有f(x) A成立，则称f (x)在XXo时有极限A记作 lim f (x)X xA或 f(x)A(xX。)几何意义：对0，s.t 当 0x x0时，f (x)介于两直线单侧极限：设f (x)在点x处的右侧某邻域内有定义，A为常数，若对0 , s.t当0 x X0时，
3、恒有f (x) A成立，称f (x)在X0处有右极限A，记作 lim f(x) A 或 f (X0) AX X)lim f(x) A的充要条件为：f(x。) f(x)=AX X垂直渐近线：当lim f (x) 时，x x0为f (x)在x0处的渐近线X X X :设函数f (x)在x b 0上有定义，A为常数，若对 0， X b,st 当x X时，有| f(x) A 成立，则称f(x)在x时有极限A，记作im f (x) A 或 f (x) A(x )lim f (x) A 的充要条件为：lim f (x) lim f (x) AXXX水平渐进线：若lim f (x) A或lim f (x)
4、A，则y A是f (x)的水平渐近线XX2函数极限的性质：唯一性局部有界性局部保号性(在当0 |x X。时成立)三、极限的运算法则1. 四则运算法则设f(x)、g(x)的极限存在,lim f (x) lim f(x) g(x) A B lim f (x)g(x) AB lim- (当 B 0 时)g(x) B lim cf (x) cA ( c为常数) limf(x)kAk( k为正整数)2. 复合运算法则设 y f (x)，若 lim (x) a，则 limx x)x xo可以写成 lim f (x) f lim (x)x xox xo四、极限存在准则及两个重要极限1 极限存在准则A,lim
5、 g(x) B 则f (x) f(a)(换元法基础)夹逼准则Yn Xn Zn,lim ynlim znann单调有界准则有界数列必有极限3.重要极限sin x lim11 X lim 1ex 0 xxx五、无穷大与无穷小1.无穷小：设有三个数列Xn ,Yn ,Zn ,满足贝V lim xn an丄或 lim 1 x x ex 0在自变量某个变化过程中lim f (x)0，则称f (x)为x在该变化过程中的无穷小探 若f(x) 0,则f(x)为x在所有变化过程中的无穷小若f(X) ，则f(x)不是无穷小性质：1有限个无穷小的代数和为无穷小2常量与无穷小的乘积为无穷小3有限个无穷小的乘积为无穷小4
6、有极限的量与无穷小的乘积为无穷小5有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理：lim f (x)A的充要条件是f (x) A (x)，其中(x)为x在该变化中过程中的无穷小无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)(x),(x)，为同一变化过程中 的无穷小若 lim c ( c0常数)则是的同阶无穷小(当c 1时为等价无穷小)右 lim kc ( c0常数)则是的k阶无穷小若 lim 0则是的高阶无穷小常用等价无穷小：(x 0) x:sin x :tan x: arcs in x :xarctanx: ln(1 x) : e 1;1 cos x :2x(1T ； (1x) 1X ；ax 1 : xln
7、a2无穷大：设函数f (x)在X。的某去心邻域内有定义。若对于 M 0 ,0 s.t当0 x Xo时，恒有 f (x) M称f (x)当xx时为无穷大，记作lim f (x)x X0为无穷小lim f (x)1为无穷大lim f (x)(下：趋于某点，去心邻域不为 0)无穷大定理：lim f (x)无穷小探 无穷大的乘积为无穷大， 其和、差、商不确定 六、连续函数1 定义设函数yf (x)在xo某邻域有定义，若对0 , Ost当0 x时,恒有： f (x) f (xo)也可记作 lim f (x) f (x0)或 lim y 0x xox 0f(x) f(x)(或 f(x)f(x)为左(或右)
8、连续2 函数的间断点第一类间断点：左右极限存在左右极限相等，该处无定义左右极限不等可去间断点 跳跃间断点第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等3连续函数的运算若函数f (x)与g(x)都在x处连续，则函数f (x)f (x) g(x)， f (x)g(x)，( g(x) 0 )g(x)定理：y fg(x)， g(x) U0，若g(x)在x处连续，f (g)在u处连续，则 y f g(x)在x处连续4闭区间连续函数的性质 最值定理：f (x)在a,b上连续，贝V VX2，对一切x a,b有f(xjf(x) f(X2)介值定理：f(x)在a,b上连续，对于f (a)与f (b)之间的任何数u，至少
9、 一点s.t f ( ) u第二章、导数一、导数的概念定义：设函数y f (x)在点Xo的某邻域有定义，如果极限lim x)一f(x存在，则称函数 y f(x)在点X 0xxo可导，极限值为函数y f(x)在点xo处的导数，记为f(xo)单侧导数：设函数y f (x)在点Xo处的左侧(xo, xo有定义，若极限lim f(xoX)f(xo)存在，则称此极限为函数X xy f (x)在点x处的左导数，记为f (xo)，类似有右导数f(X。)导函数：函数y f(x)在某区间上可导，贝yf (X x) f (x) f (x) limx ox性质：函数y f(x)在点Xo处可导的充要条件f(Xo) f
10、(Xo)可导连续导数的几何意义：函数点处的切线斜率二、求导法则1 函数的和、差、积、商的求导法则 定理：若u u(x), v v(x)都在X处可导，则函数u(x) v(x)在X处也可导，且u(x) v(x) u (x) v (x)定理：若u u(x), v v(x)都在x处可导，则函数u(x)v(x)在x处也可导，且u(x)v(x) u v uv推论：若u1,K , un都在x处可导，贝V函数u1 u2 L un在x处也可导，且IIIIU1U2L UnU|U2L Un U|U2 L Un L U1U2L Un定理：若u u(x), v v(x)都在x处可导，则函数“勺在x处也可导，且v(x)u
11、(x) u v uv2v(x)v2 反函数的求导法则定理：设函数x g(y)在Iy上单调可导，它的值域为Ix，而g(y)0,贝V其反函数y g 1(x) f(x)在区间Ix上可导，并且有f(x)4.复合函数的求导法则定理：若函数u (x)在Xo可导，函数y f (u)在点Uo(X。)可导，则复合函数y f ( (x)在X。处可导f( (x)f( (x) (x)或dx dugdx(连锁规则)三、高阶导数定义：若函数y f(x)的导数yf (x)仍可导，贝V y f (x)导数为y f (x)的二阶导数,记作 y , f (x),d2ydx2类似的，有n阶导数y(n), f (n)(x),nd y
12、dxn四、隐函数求导对于 Fx,y(x)0,或 Fx, y(x)Gx,y(x)，若求 史dx求导法：方程两侧对x求导 微分法：方程两侧求微分公式法：dy 三，将方程化成Fx,y=O，将F看成关于x,y的二元函数，分别dx Fy对x,y求偏导Fx,Fy五、参数方程所确定的函数求导x(t)dydy dtdy , dxyt，g/一y(t)dxdt dxdt dt(t)xt导数公式(cscx) cscxcotx(x )1x(ax) ax In a(lOg ax)1xln a1(sin x)cosx1(cos x)sin x1(cot x)2 csc x1(secx)secx ta n x基本函数:C0
13、导数运算法则:(arcsin x)(arccosx)(arcta nx)(arccot x)1111 x211 x2III(u v) u vIII(uv) u v uv(u v)(n) u(n) v(n)高阶导数(Cu) Cu(与vu v uv(uv)(n)v2nkCnu(n k、(k)Cf (ax b)(n)Canf (n)(ax b)1 (n)!n (m)m nm*1nn(x )An x ,(n N )若mn,则 0( 1)百xxx、(n) x n(a ) a In a(IOgaX)(n)( 1)(n 1)!xn In a(si nx)(n) si n(x(cosx)(n) cos(x探 1.o(x ) o(x)xxXo2. |xm0_L(x)f (xo)，需补充条件f (x)在Xo处可导或该极限存在第三章、微分一、微分的概念定义：设函数y f(x)在某区间I上有定义，x0,x0x I ，若yf (xox) f (xo)可表示为y Ax o( x)(其中A与x无关)，则称A x为y在x处的微分，记作dy A x探dy与y的区别：当y为自变量时，dy y当y为因变量时，d
