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1、 1 1北京市朝阳区高三3月第一次综合练习 数学试卷（理工类） 20xx.3第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数A. B. C. D. 2. 已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为A. B. C. D. 3.已知数列的前项和为，且，则A. B. C. D. 4. 已知平面，直线，且，则“且”是“”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它
2、们进行一一测试， 直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ）A. B. C. D. 6.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有.当时，.若直线与函数的图象在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是 A. B. 或 C. 或 D. 或7. 某工厂生产的种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一 年种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对种产品 征收销售额的的管理费（即销售100元要征收元），于是该产品定价每件比第一年 增加了元，预计年销售量减少万件，要使第二年商场在种产品经营中收取的 管理费不少于14万元，则
3、的取值范围是 A. B. C. D. 8.已知点集，点集所表示的平面区域与点集所表示的平面区域的边界的交点为.若点在点集所表示的平面区域内（不在边界上），则的面积的最大值是 A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.开始输入kS=0，i=1i=i+1输出S结束是否9. 已知双曲线的方程为，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .21133正视图侧视图俯视图21 （第10题图） （第11题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输
4、出的值是 .12.在极坐标系中，曲线和相交于点，则线段的中点 到极点的距离是 . 13.已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 . 14.已知中， .一个圆心为，半径为的圆在 内，沿着的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆至少与的一边相切，则点到顶点的最短距离是 ，点的运动轨迹的周长是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.15. （本小题满分13分） 已知函数. （）若，求的值； （II）设，求函数在区间上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）85809010095分数750.010.020.030.040.
5、050.060.07 某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀. （）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a, b的值；区间75，80)80，85)85，90)90，95)95，100人数50a350300b （II）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （）在（II）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参 分布列与数学期望.17. （本小题满分14分）CAFEBMD 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形， 平面，且是的中点. （）求证：平面； （）求二面角的大小； （）在线
6、段上是否存在一点， 使得与所成的角为？ 若存在，求出的长度；若不 存在，请说明理由.18. （本小题满分13分） 设函数. （）当时，求曲线在点处的切线方程； （）求函数单调区间.19. （本小题满分14分） 已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. （）求椭圆的方程； （）已知点的坐标为，点的坐标为.过点任作直线与椭圆 相交于，两点，设直线，的斜率分别为，若 ，试求满足的关系式. 数学试卷（理工类一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案A C BB C DDB二、填空题： 题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案三、解答题：
7、（15）（本小题满分13分）解：（）因为， 所以 ， 所以 . 平方得，=， 所以 . 6分（II）因为= = = =. 10分 当时，. 所以，当时，的最大值为； 当时，的最小值为. 13分（16）（本小题满分13分）解：（）依题意，. 4分（）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则，解得：x=30， 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. 7分（）依题意，X的取值为0，1，2，所以X的分布列为X012P ，所以X的数学期望为. 13分（17）（本小题满分14分） 证明：（）取的中点，连接.NCAFEBMD在中，是的中点，是的中点，所以， 又因为， 所以且.所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面
8、，平面， 故平面. 4分解法二：因为平面，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 1分 由已知可得 zCAFEBMDxy（）， . 2分设平面的一个法向量是. 由得 令，则. 3分又因为， 所以，又平面，所以平面. 4分（）由（）可知平面的一个法向量是. 因为平面，所以. 又因为，所以平面. 故是平面的一个法向量. 所以，又二面角为锐角， 故二面角的大小为. 10分 （）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为. 不妨设（），则. 所以， 由题意得， 化简得， 解得. 所以在线段上不存在点，使得与所成的角为.14分（18）（本小题满分13分）解：因为所以. （）当时, , 所以 . 所以曲线在点处的切线方程为. 4分（）因为， 5分 （1）当时,由得；由得. 所以函数在区间单调递增, 在区间单调递减. 6分 （2）当时, 设，方程的判别式 7分 当时，此时. 由得,或； 由得. 所以函数单调递增区间是和, 单调递减区间. 9分 当时，此时.所以， 所以函数单调递增区间是. 10分 当时，此时. 由得； 由得,或. 所以当时,函数单调递减区间是和, 单调递增区间. 12分 当时, 此时，所以函数单调递减区间是. 13分（19）（本小题满分14分）解: （）依题意， ， 所以. 故椭圆的方程为.
