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1、 方法专题:中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。看到中点该想到什么？1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理；4、两条线段相等，为全等提供条件遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型全等三角形；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半中线平分三角形的面积；7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂
2、径定理中点辅助线模型一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一的性质1、如图1所示，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MNAC于点N，如此MN等于 A B C DNMBOCA二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半2、如图，在ABC中，A=90OMN的形状，并说明理由.3、如图，正方形的边长为2, 将长为2的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为 A. 2 B. 4C. D.三、三角形中
3、遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理4、直接找线段的中点，应用中位线定理如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？5、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理如下列图，在三角形ABC中，AD是三角形ABCBAC的角平分线，BDAD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，求DE的长6、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理如下列图，ABCD，BCAD ，DEBE ，DF=EF，甲从B出发，沿着BA、AD、DF的方向运动，乙B出发，
4、沿着BC、CE、EF的方向运动，如果两人的速度是一样的，且同时从B出发，如此谁先到达F点？7、综合使用斜边中线与中位线性质，证明相等关系问题如图，等腰梯形ABCD中，CDAB，对角线AC、BD相交于点O，点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点.求证：SPQ是等边三角形。四、两条线段相等，为全等提供条件遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型全等三角形8、如图：梯形ABCD中，A=90,AD/BC,AD=1,BC=2,CD=3,E为AB中点，求证：DEEC9、如图甲，在正方形ABCD和正方形CGEFCGBC中，点B、C、G在同一直线上，M是AE的中点，1探究线段MD、MF的位置与数量关
5、系，并证明；2将图甲中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。1中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜测并加以证明ABCDFGEM 图乙图甲BACEDFGMBDCA五、有中点时常构造垂直平分线10、如下列图，在ABC中，AD是BC边上中线，C=2B.AC=BC。求证：ADC为等边三角形。六、有中点时，常会出现面积的一半中线平分三角形的面积11、1探索：的面积为，如图1，延长的边BC到点D，使CD=BC，连接DA，假如的面积为，如此=用含的代数式表示如图2，延长的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=B
6、C，AE=CA，连接DE，假如的面积为，如此=用含的代数式表示在图2的根底上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD，FE,得到如图3，假如阴影局部的面积为，=用含的代数式表示发现：像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到如图4，此时，我们称向外扩展了一次。可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的倍应用：如图5，假如ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=AB，B1C= BC，C1A=CA，顺次连结A1，B1，C1，得到A1B1C1. 第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1= A1B1，B2C
7、1= B1C1，C2A1= C1A1，顺次连结A2，B2，C2，得到A2B2C2，第三次操作 ，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010，最少要经过次操作.12、如下列图，梯形ABCD，ADBC，点E是CD的中点，连接AE 、 BE，求证：SABE=S四边形ABCD。13、如图，M是ABCD中AB边的中点。CM交BDDCBMAE于点E,如此图中阴影局部面积与ABCD面积之比为14、如下列图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，如此等于：A、 B、 C、 D、七、倍长中线15、如图，ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：ABAD16、
8、如图，点D、E三等分ABC的BC边，求证：AB+ACAD+AE17、如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，求证：DEF为等腰直角三角形。八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理18、半径是 5 cm的圆中，圆心到 8 cm长的弦的距离是_19、半径为的圆O中有一点P，OP=4，如此过P的最短弦长_，最长弦是_，20、如图，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB，OEAC，垂足分别为D、E，假如AC=2cm，如此圆O的半径为_cm。21、如图，在O中，直径AB和弦CD的长分别为10 c
9、m和8 cm，如此A、B两点到直线CD的距离之和是_.22、如图，O的直径AB和弦CD相交于E，假如AE2cm，BE6cm，CEA300，求：CD的长；23、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出ABC滴水湖的半径。倍长中线：12011平谷二模24. ：如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG1求证：EG=CG；2将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取
10、DF中点G，连接EG，CG问1中的结论是否仍然成立？假如成立，请给出证明；假如不成立，请说明理由3将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问1中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？均不要求证明DFBACE图FBADCEG图 遇到中点引发六联想1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一的性质例1、如图1所示，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MNAC于点N，如此MN等于【 】A B C D分析：由AB=AC=5，所以，三角形ABC是等腰三角形，且边BC是底边；由点M为BC中点，如果连接AM，如此根据等腰三角形的三线合一，得到AM是底边B
11、C上的高线，这样就能求出三角形ABC的面积，而三角形AMC的面积是等腰三角形面积的一半，在三角形AMC中利用三角形的面积公式，求可以求得MN的长。解: 连接AM， AB=AC=5 , 点M为BC中点 AMBC，在直角三角形AMC中，AC=5，CM=BC=3, AM=4，SABC=BCAM=64=12 , SACM=SABC =6；6=ACMN， MN=. 所以，选择C。2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半例2、在三角形ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，求证：四边形EFGD是等腰梯形。分析：由点E、F、G分别是BC
12、、AB、AC的中点，根据三角形中位线定理，知道FGBC,FEAC，FE=AC，由直角三角形ADC，DG是斜边上的中线，因此，DG=AC，所以，EF=DG，这样，我们就可以说明梯形EFGD是等腰梯形了。证明：点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点， FGBC ， FEAC，FE=AC，AD是三角形的高， ADC是直角三角形，DG是斜边上的中线， DG=AC， DG=EF, 梯形EFGD是等腰梯形。3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理例1 求证：顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形。：如图4所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
13、。求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，我们就自然联想到三角形的中位线定理，但是在这里，我们发现缺少三角形，因此，我们只要连接四边形的一条对角线，就出现我们需要的三角形了。证明：连接AC，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。EFAC ，EF =AC， GHAC，GH=AC， EFGH，EF=GH，四边形EFGH是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型全等三角形例4、如图6所示，梯形ABCD，ADBC，点E是CD的中点，连接AE 、 BE。 求证：SABE=S四边形ABCD。分析：如果直接证明，是不容易，联想到ADBC，点E是CD的中点，我们延长AE，与BC 的延长线交于点F，这样，我们就构造出一对八字型的三角形，并且这对三角形是全等的。这样，就把三角形ADE迁移到三角形ECF的位置上，问题就好解决了。证明：如图7所示，延长AE，与BC 的延长线交于点F，ADBC， ADE=FCE，DAE=CFE，又点E是CD的中点， DE=CE， ADEFCE， AE=EF，S
