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1、3.2 立体几何中的向量方法(一)【学习目标】1掌握空间点、线、面的向量表示.2理解直线的方向向量与平面的法向量的意义;会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的 平行问题问题导学知识点一 直线的方向向量与平面的法向量思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点p的位置向量.直线：直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量. 对于直线1上的任一点p,存在实数t,使得AP=tAB,此方程称为直线的向量参数方程.(3)平面：空间
2、中平面a的位置可以由a内两个不共线向量确定.对于平面a上的任一点P, a, b是平面a内两个不共线向量，则存在有序实数对(x, y),使得OP=xa+yb.空间中平面a的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示.梳理 (1)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线1丄a,取直线1的方向向量，叫做平面a 的法向量(2)空间中平行关系的向量表示设直线1, m的方向向量分别为a, b,平面a, “的法向量分别为“，0,则线线平行1mOabOa=kb (kR)线面平行1aOa 丄“Oa “=0面面平行a “(kR)线线垂直1 丄 mO
3、a 丄 boa b = 0线面垂直1 丄 aOa “ Oa=k(k w R)面面垂直a 丄丄0=0知识点二 利用空间向量处理平行问题思考 设01 = (a1，b1，c1), 02=(a2，b2，c2)分别是直线11，12的方向向量.若直线l、l2, 则向量01, 02应满足什么关系.(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与 平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案(1)由直线方向向量的定义知若直线ll2，则直线1, 12的方向向量共线，即ll2o V V2OV=加2(久丘 R).(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直
4、，进而确定线面是否平行(3) 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运 算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.题型探究类型一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系例1 (1)设a, b分别是不重合的直线11，12的方向向量，根据下列条件判断11，12的位置关系: a=(4,6, 2)， b=(2， 3,1)； a = (5,0,2), b = (0,1,0)；设“，v分别是不同
5、的平面a B的法向量，根据下列条件判断a B的位置关系： “=(-1,1，-2), v=(3,2,-2)； “=(3,0,0), v = (-2,0,0)；设“是平面a的法向量，a是直线1的方向向量，根据下列条件判断平面a与1的位置关系： “=(2,2,-1), a = (-6,8,4)； “=(2,3,0), a = (8,-12,0).解(1)a=(4,6,2), b=(-2,-3,1),:.a=2b, .ab, :、.a=(5,0,2), b=(0,1,0), :.ab=0, :.alb,：丄12.(2)“=(-1,1,-2), v =(3, 2,-|),.:“ v=-3+2+1=0,:
6、.“丄v, :.a丄.“=(3,0,0), v=(-2,0,0),3:.“=-qv, :.“v, :.a“.(3)“=(2,2,1), a=(6,8,4),a= 12+164=0,“丄a, .*.l a 或 la.“=(2,3,0), a=(8,12,0).“=4。,:、“丨丨a、.1 丄a.反思与感悟 利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平 面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几 点：(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、 平面位置关系之间的内在联系；(3)将向量问题转化为几
7、何问题时的等价性跟踪训练 1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线11与12的方向向量分别是a=(2,3,-1), b=(-6,-9,3)；直线11与12的方向向量分别是a=(-2,1,4), b=(6,3,3)；平面a与B的法向量分别是“=(2,3,4), 0=(4,2,1)；直线1的方向向量，平面a的法向量分别是a=(0, -8,12), “=(0,2,3).解(1)Va=(2,3,-1), b=(-6,-9,3):.a=|b, ：.ab, :、J2Va=(2,1,4), b=(6,3,3), .abM0 且 aMkb(kwR), :.a, b 既不共线也不垂直，即 11与
8、12相交或异面,但不垂直(3) T“=(2,3,4), 0 = (4,2,1),.:“ 0工0 且“Mk0(kWR),:“与0既不共线也不垂直，即a和B相交但不垂直.(4) Va = (0, 8,12), “=(0,2,3),丄 “=4。，:.“a, 即 卩 1 丄 a.类型二 求平面的法向量例2 如图，ABCD是直角梯形，ZABC=90, SA丄平面ABCD, SA=AB=BC=1, AD=|,求平面SCD与平面SBA的法向量.解 TAD、AB、AS是三条两两垂直的线段，：以A为原点，以AD、AB、,AS的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系，则A(0,0,0), D(2, 0, 0
9、), C(1,1,0),S(0,0,1),AD=（2，0，0）是平面SAB的法向量，设平面SCD的法向量n = （l,九u）, 则 nDC=（1,久，u）-2， 1， 0） = 3+久=0，.2= 2*nDS=（1， A， u）（2， 0， 1） = 2+ u = 0,11T综上，平面SCD的方向量为n = （1，-2，I）,平面SBA的法向量为AD = （2，0,0）.反思与感悟 设直线l的方向向量为b1, c1）,平面a的法向量u = , b2, c2）,则l丄a Op/uO=kvOa1=ka2, b1=kb2, c1=kc2，其中 kR , 平面的法向量的求解方法：设出平面的一个法向量为
10、n= （x，y，z）， 找出（或求出）平面内的两个不共线的向量的坐标： a= （a1，b1，c1），b= （a2，b2，c2）， 依据法向量的定义建立关于x, y, z的方程组n a=0,n b=0, 解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方 程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量跟踪训练2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证D5是平面ACD1的一个法向量.证明设正方体的棱长为1，分别以DA, DC，DD为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则D5=（1,1,1）, Ac=（-1,1,0），ad1=（-1,0,1），于是有历Ac=0， 所以
11、Db1Ac， 即DB丄AC, 同理DB丄AD1， 又 ACHAD1=A,所以DB丄平面ACD1, 从而历1是平面ACD的一个法向量.类型三 利用空间向量证明平行关系例3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, E、F分别是BBDD1的中点，求证:(l)Fq平面ADE； (2)平面ADE平面B.证明(1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz,则有 D(0,0,0), A(2,0,0), C(0,2,0), q(0,2,2), E(2,2,1), F(0,0,1), B1(2,2,2),所以FC1 = (0,2,1), DM = (2,0,0), AE=(0,2,1).设叫=僦，y1, z1
12、)是平面ADE的法向量，则丄DA,丄AE,X = 0,nDA = 2x, =0,即(11、厂 AE=2y1+z1 = 0,令 z1 = 2，则 y1= 1,所以 n1 = (0,1,2).因为FCn1 = 2+2 = 0,所以FC1n1.又因为FC1平面ADE,所以FC平面ADE.因为C1B1 = (2,0,0)，设n2=(x2, y2, z2)是平面B&F的一个法向量由n2丄FC. n2丄币1得 n2 FC1 = 2y2 + z2 = 0,得X2 = 0，、阴* C1B1 = 2x2=0，*2了2令 z2= 2,得 y2= 1 ,所以 n2=(0,1,2),因为n1=n2，所以平面ADE平面
13、BQF.反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和 平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题跟踪训练3如图，四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD, PB与底面成匚的角为 45,底面 ABCD 为直角梯形，ZABC=ZBAD=90, PA=BC=1AD=1,问在棱PD上是否存在一点E,使CE平面PAB?若存在，求 卜 出 E 点的位置；若不存在，说明理由解 分别以AB, AD, AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,P(0,0,1), C(1,1,0), D(0,2,0),设 E(0, y, z),则PE=(0, y, z1),PD=(0,2
14、,1),.PEPD,*y(1)2(z1)=0,VAD=(0,2,0)是平面PAB的法向量，又CE=(1, y1, z), CE平面 PAB,:.CE丄AD, (一1, y1, z)(0,2,0) = 0.y=1,代入得z=2，E是PD的中点，存在E点，当点E为PD中点时，CE平面PAB.当堂训练解析：Ha,平面a的法向量为(1, 2，2),.(2, m, 1)(1, 2， 2) = 0.2+2血+2=0. .*.m= 8.5.在正方体ABCD-A1B1ClD1中，平面ACD1的一个法向量为.答案 (1,1,1)(答案不唯一)解析 不妨设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系，则各点坐标为：A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),设平面 ACD1 的一个法向量 a= (x, y, z),则 aAC=0, aAD1 = 0.因为AC=(1,1,0), AD1 = ( 1,0,1),1) x+1 y+0 z=0,所以(1) x+0 y +1 z=0,所以x_y=0,xz=0.x=y,所以不妨取x=1, a=(1,1,1).(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)x=z,规律与
