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1、线性代数的主要知识点第一部分 行列式概念：1 n阶行列式展开式的特点：共有n!项，正负各半；每项有n个元素相乘，且覆盖所有的行与列；每一项的符号为2 元素的余子式以及代数余子式 3 行列式的性质计算方法：1 对角线法则2 行列式的按行（列）展开 (另有异乘变零定理)第二部分 矩阵1 矩阵的乘积注意：不满足交换率（一般情况下） 不满足消去率 （由AB=AC不能得出B=C） 由AB=0不能得出A=0或B=0 若AB=BA，则称A 与B是可换矩阵2矩阵的转置 满足的法则：，3矩阵的多项式 设，A为n阶方阵，则称为A 的n次多项式。对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：（1）如果 ，则= （2）若，则4
2、逆矩阵：阶矩阵A,，若，则A,B互为逆矩阵。 n 阶矩阵A可逆； （或表示为）即A为满秩矩阵； A与E等价； A可以表示成若干个初等矩阵的乘积； A的列（行）向量组线性无关； A的所有的特征值均不等于零求法：伴随矩阵法：初等变换法：或， E是单位矩阵性质：（1）矩阵可逆，则的逆矩阵是唯一的（2）设是阶矩阵，则有下列结论 若可逆，则也可逆，且 若可逆，则也可逆，且 若可逆，数，则可逆，且 若为同阶矩阵且均可逆，则也可逆，且5方阵A的行列式：满足下述运算规律（设为阶方阵，为数） 6伴随矩阵：行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵，称为矩阵的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同）伴随矩阵具有性质
3、：常见的公式有： 等7初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵，分别记为：（1）（互换E的第、列）（2）（E的第行乘以不为零的数）（3）（把E的行的倍加到第行上）初等矩阵具有下述性质：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍为初等矩阵且、；初等矩阵的行列式分别是 -1，k, 1。8矩阵的初等变换：初等行变换: 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： 对调两行； 记为 对换第行 以数乘某一行中的所有元素； 记为 第行乘 把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去；记为 第行倍加到第行上。把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列
4、变换的定义.矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换矩阵的初等变换与初等矩阵的关系：设A是一个矩阵，则 对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的 阶初等矩阵； 对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 阶初等矩阵 9矩阵的等价：如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价。 且若矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价； 若仅经过初等列变换，就称A与B列等价。设为矩阵与行等价阶可逆矩阵，使得与列等价阶可逆矩阵，使得等价阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，使得利用矩阵的初等变换解矩阵方程 ，可以： ，可以： ，从而解出X。10矩阵的秩：非零子式的最高阶
5、数。记为 求法：A行阶梯形矩阵B，=B的非零行的行数。 相关公式：若A是矩阵，则 =若设为矩阵， 均为可逆矩阵，则，则若均为矩阵，则 若 ，则 11分块矩阵：主要记住：（1）分块对角矩阵：设为阶方程，若的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方块，即其行列式与逆矩阵具有下述性质：若，则，故可逆，并有: 设是阶方阵, 是阶方阵,且,则另有：（2）设有分块矩阵，其中分别为阶、阶可逆矩阵，则矩阵可逆且（3）设有分块矩阵，其中分别为阶、阶可逆矩阵，则矩阵可逆且第三部分 向量组1 线性组合：给定向量组A：，对于任意一组实数，称向量为向量组的一个线性组合，称为该线性组合的系
6、数。 给定向量组A：和向量，如果存在一组数，使得 =则向量是向量组A的线性组合，也称向量可以由向量组A线性表示 向量能由向量组A线性表示方程组 有解 矩阵A=（）的秩等于矩阵B=(，)的秩2等价：设有两个向量组A：及B：，若B中的每个向量都可以由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价。记为：（）（）主要结论：（1）矩阵A与B若行等价，则A的行向量组与B的行向量组等价； 若矩阵A与B若列等价，则A的列向量组与B的列向量组等价（2）向量组B：能由向量组A:线性表示存在矩阵K，使得B=AK方程AX=B有解（3）向量组A: 与向量组
7、B：等价 ，其中，A,B是向量组构成的矩阵（4）向量组B：能由向量组A:线性表示，则 R()R()3线性相关与线性无关对向量组A：，如果存在不全为零的一组数，使得： 则称向量组A是线性相关的，否则称为线性无关，也就是说当且仅当都是零时才能使（）式成立，则线性无关。主要结论：（1）向量组线性相关齐次线性方程组有非零解它所构成的矩阵=（）的秩小于；同样 线性无关仅有零解（2）n个n维向量，线性相关行列式， 线性无关行列式（3）m个n维向量，当维数时，向量组一定线性相关。特别地，个维向量必线性相关；（4）若向量组A：线性相关向量组B: 一定线性相关；反之，向量组B若线性无关向量组A线性无关或叙述为：
8、整体无关，则任意部分无关；只要有一部分相关，则整体相关；（5）若向量组A：线性无关，而向量组B: ,线性相关必能由向量组A线性表示，且表达式唯一（6）若维向量组线性无关，则在每一个向量上再添加个分量所得到的维向量组也是线性无关的（7）向量组A：线性相关其中至少有一个向量是其余个向量的线性组合 ；线性无关每一个向量都不能由其余向量线性表示。（8）如果向量组A：可由向量组B: 线性表示，并且向量组A：线性相关；（逆否命题: A：线性无关且可由向量组B线性表示）4最大（极大）线性无关组：设有向量组A，如果在A中能选出个向量，满足（1）向量组：线性无关；（2）向量组A中任意个向量（如果A中有个向量的话
9、）都是线性相关的那么称是向量组A的一个最大（极大）线性无关部分组条件（2）也可以改为：向量组A中任意一个向量都可以由线性表示，结论:一个向量组的极大无关组是它的线性无关部分组中个数最多的那一个一个向量组的极大无关组不是唯一的向量组的任意一个极大无关组所含向量的个数是唯一确定的若向量组线性无关，其极大无关组就是其本身任一向量组和它的极大无关组等价 向量组中任意两个极大无关组等价5向量组的秩：向量组中极大无关组所含向量的个数称为向量组A的秩。记为：（）主要结论：（1）如果向量组 与向量组等价，则它们的秩相等（2）如果向量组 可由向量组线性表示，且 ，则（3）矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的
10、行向量组的秩6向量空间：设V为维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称V为向量空间。（1）设是两个已知的维向量，则集合 是一个向量空间。称为由向量所生成的向量空间。（2）向量空间的基-设为向量空间，如果个向量，且满足 线性无关； 中任何一个向量都可以由线性表示则称向量组是向量空间的一个基，称为向量空间的维数，并称为维向量空间。（3）在中取定一个基，再取一个新基，设（），（），则=称为从旧基到新基的过渡矩阵7向量的内积：(1) 设有维向量，令，称为向量与的内积. 当与都是列向量时，有 .(2) 内积具有下列性质（其中为维向量，为实数）： ； ； . 当时，；当时
11、，施瓦茨（Schwarz）不等式 (3) 向量的长度：=，称为维向量的长度。（范数）.(4) 向量的正交-当时，称向量与正交.(5)正交向量组-两两正交的非零向量组称为正交向量组.正交向量组的性质若维向量是一组两两正交的非零向量组，则线性无关.（6）施密特（Schimidt）正交化过程：设是线性无关的：取；，.两两正交，且与等价第四部分 线性方程组1 解的判定：线性方程组其系数矩阵与增广矩阵分别记为：，或（A,b）= 则方程组的矩阵表示形式为：若记：，则方程组的向量形式为： 判定定理：元非齐次线性方程组有解且有唯一解 ，有无穷多解对应的齐次线性方程组，称谓原方程组的导出组。有结论：元齐次线性方程组仅有零解系数矩阵的秩元齐次线性方程组有非零解系数矩阵的秩若系数矩阵A为方阵，则有：元齐次线性方程组仅有零解 元齐次线性方程组有非零解2基础解系：设都是齐次线性方程组的解，且：线性无关 的任意解都可以由线性表示则称是齐次线性方程组的一个基础解系实际上，齐次线性方程组的一个基础解系就是它的解集的一个最大无关组结论：当系数矩阵的秩时，齐次线性方程组有基础解系，并且它的任一个基础解系中解向量的个数为若是的一个特解，是的一个基础解系，则的通解为+第五部分 矩阵的特征值（特征向量）与二次型14
