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1、问题一某大型制药厂销售部门为了找出某种注射药品销量与价格之间的关系,通过市场调查收集了过去30个销售周期的销量及销售价格的数据,如表.根据这些数据至少建立两个数学模型, 作出图形,比较误差。销售周期价格(元)销量(百万)销售周期价格(元)销量(百万)销售周期价格(元)销量(百万)13.857.38113.907.89213.807.6523.758.51123.908.15223.757.2733.709.52133.709.10233.708.0043.707.50143.758.86243.558.5053.609.33153.758.90253.608.7563.608.28163.80
2、8.87263.659.2173.608.75173.709.26273.708.2783.807.87183.809.00283.757.6793.807.10193.708.75293.807.93103.858.00203.807.95303.709.26问题分析：该问题是通过已知的过去30个销售周期的销量及销售价格的 数据，来寻找一个最能反映该药销量与价格之间的函数曲 线。在数学上归结为最佳曲线拟合问题。基本思想：曲线拟合问题的提法: 已知一组二维数据，即平面上的n个点 i=1,2,3.n， 互不相同，寻求一个函数，使在某中准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 最小二乘法是解
3、决曲线拟合最常用的方法. 基本思路：其中rk(x) 是事先选定的一组函数，ak 是待定系数(k=1,2,m,mn), 拟合准则是使n个点(xi,yi) (i=1,2,n)，与y=f(xi)的距离 的平方和最小，称最小二乘法准则。 1、系数的确定 求使得使J达到最小. 得到关于 的线性方程组： 散点图： 程序： 已知一组二维数据，即平面上的n个点 ， 互不相同，寻求一个函数 ，使 在某中准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。x=3.85,3.75,3.70,3.70,3.60,3.60,3.60,3.80,3.80,3.85,3.90,3.90,3.70,3.75,3.75,3.80,3
4、.70,3.80,3.70,3.80,3.80,3.75,3.70,3.55,3.60,3.65,3.70,3.75,3.80,3.70;y=7.38,8.51,9.52,7.50,9.33,8.28,8.75,7.87,7.10,8.00,7.89,8.15,9.10,8.86,8.90,8.87,9.26,9.00,8.75,7.95,7.65,7.27,8.00,8.50,8.75,9.21,8.27,7.67,7.93,9.26;plot(x,y,r.) 经过观察，结合实际情况。可构造如下两种模型： （1）假设 销售量随价格线性地减小 模型：y = a-b x 观测值的模型 yi =
5、a + b xi + i ，i = 1,n 拟合精度 Q = (yi - a b xi)2 用最小二乘法求参数a和b，使得误差平方和最小. 使用matlab软件提供用多项式拟合即可得到函数解析式。 程序：x=3.85,3.75,3.70,3.70,3.60,3.60,3.60,3.80,3.80,3.85,3.90,3.90,3.70,3.75,3.75,3.80,3.70,3.80,3.70,3.80,3.80,3.75,3.70,3.55,3.60,3.65,3.70,3.75,3.80,3.70;y=7.38,8.51,9.52,7.50,9.33,8.28,8.75,7.87,7.10
6、,8.00,7.89,8.15,9.10,8.86,8.90,8.87,9.26,9.00,8.75,7.95,7.65,7.27,8.00,8.50,8.75,9.21,8.27,7.67,7.93,9.26;plot(x,y,r.)A=polyfit(x,y,1)plot(x,y,r.,x,z,k) 结果： A = -3.5453 21.6243 可求的函数模型为： （2）利用指数增长模型 线性化 设数据满足 最小二乘法： 程序： x=3.85,3.75,3.70,3.70,3.60,3.60,3.60,3.80,3.80,3.85,3.90,3.90,3.70,3.75,3.75,3.8
7、0,3.70,3.80,3.70,3.80,3.80,3.75,3.70,3.55,3.60,3.65,3.70,3.75,3.80,3.70;y=7.38,8.51,9.52,7.50,9.33,8.28,8.75,7.87,7.10,8.00,7.89,8.15,9.10,8.86,8.90,8.87,9.26,9.00,8.75,7.95,7.65,7.27,8.00,8.50,8.75,9.21,8.27,7.67,7.93,9.26;z=log(y);A=polyfit(x,z,1) 结果：A = -0.4264 3.7154 函数模型为：2.一个城镇有三个主要生产企业：农业、制造业
8、和服务业作为它的经济系统.农业生产价值1元的产品，需消耗0.15元的农业、0.35元的制造业和0.25元的服务业的产品；制造业生产价值1元的产品，需消耗0.40元的农业、0.05元的制造业和0.10元的服务业的产品；服务业提供价值1元的产品，则需消耗0.45元的农业、0.10元的制造业和0.10元的服务业的产品. 在某个月内，除了这三个部门间的彼此需求，农业得到500000元的订单，制造业得到250000元的供应要求，而服务业得到价值300000元的需求. 试问 (1)、这三个部门在这个月各应生产多少产值才能满足内外需求？(2)、新创造了多少价值？(3)、写出投入产出表；(4)、如果农业需要增
9、加总产值100000元，它对各个企业的产品的完全消耗矩阵是多少？（5）、若在以后的两个月内,企业外部需求的增长速度是：农业每月增长15，制造业每月增长3，服务业每月运输增长12；那么各企业的总产值将平均每月增长多少？问题分析：价值型投入产出问题 1、模型假设: （1）、将研究对象划分为农业，制造业和服务业三个部门，每个部门生产一种或一类产品; （2）、每个生产部门的生产意味着将本部门和其它部 门的产品经过加工变成本部门的产品。在这个过程 中消耗的产品称“投入”，生产所得的最终产品 称为“产出”。对于每个部门而言，投入产出的关 系是不变的。 2.直接消耗系数 第j部门生产单位产品直接消耗第i部门
10、产品数量，称为第j部门对第i部门的直接消耗系数，记作 ， 即 反映了各部门间直接联系的强度；它越接近1，就说明部门与部门的联系越密切；它越接近于0，则说明部门与部门联系越稀疏。 称A为直接消耗系数矩阵 分配平衡方程组矩阵式为 矩阵A有下列两个性质 性质1 性质2 A的各列元素之和均小于1 即 由线性代数理论知： 由 得 模型及分析： （1）：设农业、制造业和服务业在这个月生产总产值分别为x1、x2和x3(元)，那么 (分配平衡方程组)(直接消耗矩阵) 则 运算程序及结果 ：程序：A=0.15,0.4,0.45; 0.35,0.05,0.1; 0.25,0.1,0.1; E=1,0,0; 0,1
11、,0;0,0,1; Y=500000;250000;300000; C=E-A; D=inv(C); X=D*Y 结果：D =1.8385 0.8812 1.0171 0.7397 1.4196 0.5276 0.5929 0.4025 1.4523 X =1.0e+006 * 1.4447 0.8831 0.8327 可知在该月中,农业，制造业和服务业的总产值分别为 1444700元，883100元, 和832700元. （2）新创造价值问题 除了外部需求，试求这个月各企业之间的消耗需求，同时求出各企业新创造的价值(即产值中除去各企业的消耗所剩的部分)将x1=1444700分别乘以0.15，0.25，0.35得到各企业为煤矿的总产值所作消耗类似地各企业对农业、服务业的产值所作消耗分别为和 三个向量写成矩阵: 设 z1 , z2和z3(元)分别为农业、制造业和服务业在这星期的新创价值，那么应有 容易得 z1 = 361175 z2= 397395
