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1、无穷级数的敛散性及其应用摘要：无穷级数贯穿于高等数学的各个分支，是数学分析中的重要组成部分。本文简单讨论了一个级数的敛散性的判别，并会应用其解决问题。着重强调了无穷级数在求极限中以及在数值计算中的近似计算中的应用。关键词： 级数 敛散 极限 判别 近似计算The Convergence And Divergence Of Infinite Series And Its ApplicationAbstract: Infinite series throughout the higher the various branches of mathematics, mathematical analy
2、sis is an important part in. This paper discusses a series of distinguishing the convergence and divergence, and will apply the solution to the problem. Emphasizes the infinite series in the limit as well as in the numerical calculation of approximate calculation.Keywords: Series ; Convergence and d
3、ivergence ; Limit; Distinguish ; Approximate calculation 1. 级数敛散性的定义 1.1定义： 如果数项级数的部分和数列收敛于（),则称此数项级数收敛。2. 级数敛散性的判定方法 在数学分析中，我们已经学习到了几种判别法。在本文我主要整理总结级数敛散性的判别法的思想。（1） 对于一个任意项级数，首先应判别此级数的类型，主要分为正项级数和一般项级数。其中一般项级数中再判断它是否是交错级数。（2） 如果是正项级数，先可以利用级数收敛的必要条件判定级数是否发散。 即判断极限发散，则不确定级数是否收敛，需要再次判别。接着，根据级数的一般项的特性选
4、择不同的判别方法：a:若一般项中含有阶乘项和乘积形式，一般用比式判别法。b:若一般项中含有幂指数形式，一般用根式判别法。c:若一般项中含有不是整数，一般用比较判别法。此外还有比式判别法的极限形式，积分判别法，拉贝尔判别法等等。（3） 利用级数敛散性的定义判别（4） 特殊类型级数的判别方法a:如果一个级数是交错级数，可以用莱布尼茨判别法b:如果交错级数不符合莱布尼茨判别法条件则可以运用狄利克雷判别法和阿贝尔判别法等等。下面看几个例子，观察是如何判别级数敛散性的。例1 讨论数项级数的收敛性。分析：这道题如果用比式判别法，发现不能判别出级数是否收敛。因此想到用定义是否可以先求出部分和，在判断其极限的
5、存在性。解：级数的第n个部分和= = 于是，因此，根据定义，此级数收敛。并能求出其和为。例2 判别下列级数的敛散性 （1） （2） （3）0.003+解：（1）因为 ()而正项级数收敛，所以级数收敛。分析：这是运用了比较判别法，即把，与收敛性相同。 (2) 分析：由于级数的一般项含有阶乘，首先想到用比式判别法能否判别。 因为所以此级数发散。 （3）分析：这题是利用级数收敛的必要条件的逆否命题：若，则级数发散。所以此级数发散。3. 无穷级数的应用 无穷级数在数学中的应用非常广泛，无论是在实数领域还是复数领域，级数都占据着至关重要的地位。我们可以用无穷级数理论来求某些数列和函数的极限。另外，对于一
6、个很难计算的数值如无理数也可用无穷级数逐渐逼近得到较为准确的值。譬如可以用无穷级数逼近的方法求出圆周率的近似值。下面举例说明级数的某些应用。3.1利用无穷级数求极限（1）利用级数敛散性的必要条件例3 求极限分析：我们发现直接来求解这题显得比较繁琐，如果把看作是级数的通项，如果此级数收敛，则。解：根据比式判别法所以0时，。分析;用其他方法求这题比较难求，未知。我们先考虑级数的收敛性。解 由比式判别法= =1所以级数收敛，则=0（2）（2）通过幂级数展式求极限 根据所求函数性质的不同，可以将函数的某一项进行展开，然后求得极限值。这种方法求极限，可以简便计算量。对于不易求出极限的函数，可以使用这类方
7、法。下面看一个例子。例5 （1） (2)分析：第一题我们发现当x趋于无穷时，是无穷小量，则可以用泰勒展式将展开求解。第二题可以利用泰勒展式将，展开。解 （1） = （2） =（3） 利用级数的和函数求极限在求极限的过程中，我们通常会遇到与n有关的和式极限。对于这类求极限是较难的。如果可以将这种和式化为一个已知和式的级数。这类问题就能得到简便化。下面看几个例子。例6 求极限分析：将其看作一个级数，由公式，把这题求极限看作是级数的求和问题。解 原式=，由级数的比式判别法，得=1。设 ， 利用错位相减法得，两式相减得， =，=1例7 求极限解 根据比式判别法，由正项级数，得= =1所以此级数收敛。设
8、此时1已知 ，令，则=3.2 无穷级数在近似计算中的应用（1）计算无理数的近似值例8 计算的近似值，并使其截断误差不超过。解 用泰勒展式将展开并取，得截断误差R7=（2）计算定积分的近似值对于一些函数如，它们的原函数不能用已知的初等函数表示，计算它们的定积分很困难。通常解法是先将被积函数化成幂级数展式，再逐项积分，最后求出定积分的近似值。下面看例子例9 计算积分的近似值，误差不超过。解 用泰勒展式展开， 由于第四项所以总之，讨论并研究一个无穷级数的敛散性和应用，无论对级数求和问题，一些极限的求解，还是在近似计算中，都在我们生活生产中占据着非常重要的作用。从无穷级数的框架看，它是一个严密的网状体系，与函数思想、极限思想和化归转化思想密切联系。参考文献：华东师范大学数学系 编 数学分析下册 第三版 高等教育出版社赵仪娜 无穷级数在求极限中的应用 高等数学季刊 1998年第二期井石峰 高等数学（一） 华中科技大学出版社 2003,9赵兆林 无穷级数敛散性的判别方法 山西煤炭管理干部学院学报 1999年第3期姬小龙 Taylor定理的推广及中值点列的渐近性 洛阳师范学院学报 ，2001，20（2）罗尊礼 王国庆 递推法与无穷级数 枣庄师专学报1996年第3期李庆扬等编 数值分析第4版 华中科技大学出版社 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
