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1、点、直线、平面之间的位置关系一、本章知识结构二、知识点1.平面概述（1）平面的两个特征：无限延展 平的（没有厚度）（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母a、。、y等表示，如平面a、平面p ；用表示平行四边形 的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。2.点与直线、平面的位置关系如下表：点A在直线a上（或直线a经过点A）打。AEa元素与集合间的关系点A在直线a外（或直线a不经过点A）AW a点A在平面a内（或平面a经过点A）rzyAEa点A在平面a外（或平面a不经过点A）%AW a3.平面基本性质：公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上
2、所有的点都在这个平面内.语言表示：若 Aea,Ba,且 AEa,BEa,贝0 au a.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面共面直线相交直线:同平行直线:同公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 用符号语言表示为：Pa,且 P。naAp=l，且Pel.“平面的基本性质”小结：利用三个公理证明共面、共线、共点问题名称作用公理1判定直线在平面内的依据公理2确定一个平面的依据公理3两平面相交的依据4.空
3、间的两条直线的三种位置关系:平面内，有且只有一个公共点;平面内,没有公共点；异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.(1) 异面直线的画法常用的有下列三种:五(2) 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：a#b,bcnac.(3) 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.(4) 两条异面直线所成的角：异面直线a、b,在空间中任取一点O,过点O分别引aa, bb，则a, b所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角.两条异面直线所成角的范围是(0，90;若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直5.空间中直线与平面之间的3种
4、位置关系:直线在平面外相交:有且只有一个公共点;平行:没有公共点；直线在平面内：有无数个公共点两个平面平行，两个平面相交，没有公共点.若anp= 0，则ap.有一条公共直线.若an=AB,则a与。相交.直线在平面内a u a直线与平面相交ana=A直线与平面平行aan6.平面与平面之间的位置关系7. 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.1符号语言为：bUa，=aq.a#bJ图形语言为:8. 直线与平面平行的性质：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任a ct)符号语言为 j =B n a = b平面与此平面的交线与该直线平行.图形语言为：
5、9. 平面与平面平行的判定定理:一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，则这两个平面平行。一心符号语言：b u0a b = P = a / pa / ab / a图形语言为：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互 相平行。10. 平面与平面平行的性质：(1)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.一P1符号语言表示为：以C 丫 a n ab.P cy b图形语言表示为：注意:应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.”(2)如果两个平面
6、平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；11. 线面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的 垂线，平面叫做直线的垂面.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足.直线和平面垂直的画法及表示如下：如图：表示方法为：a顼.。12. 直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a u以b ua符号语言为：/上a n IXa.I上ba b = P图形语言为：13. 直线和平面所成的角：斜线：一条直线和一个平面相交，但不和
7、这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线斜足：斜线和平面的交点.斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平 面内的射影.平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 特别地：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0.14. 直线和平面垂直的性质：(1)垂直于同一个平面的两条直线平行简记为线面垂直、线线平行.(2)直线和平面垂直，则直线和平面内任何一条直线都垂直.a u alb aj nba15. 二面角的有关概念.(1)二面角的定义：从一条直线出发的两
8、个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.面角常用直立式和平卧式两种画法:直立式：平卧式:(1) (2)图2二面角的表示方法：如图3中，棱为AB,面为a、P的二面角，记作二面角a-AB-p.有时为了方便也可在a、p内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.图3如果棱为1，则这个二面角记作a-l-p或P-l-Q.(2)二面角的平面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做 面角的平面角.图中的匕AOB,/AOB都是二面角a-l-p的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量
9、，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度 二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角。平面角是直角的二面角叫做直二面角.直二面角的画法：如图5.图516. 两个平面垂直的判定定理.一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直符号表述为:AB pAB uan ap.图形表述为：17. 两个平面垂直的性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直a PAB u a符号语言为：以c p = CD n AB X.AB 1 CDAB c CD = B图形语言为：三、例题1.如图所示，已知空间四边形ABCD, M、N分别是AB、BC的中点，P、Q分别是CD、A
10、D上的点，且11DP = 3 DC, DQ = 3 DC.求证：(1) M、N、P、Q四点共面；(2)三直线BD、NP、MQ共点。2.如图，点A是BCD所在平面外一点，AD=BC, E、F分别是AB、CD的中点，且EF=AD，求异2面直线AD和BC所成的角.解：设G是AC中点，连接EG、FG11因 E、F 分别是 AB、CD 中点，故 EGBC 且 EG=gBC，FG#AD，且 FG=g ADAA由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即ZEGF为所求.由 BC=AD 知 EG=GF=n AD，又 EF=AD,由勾股定理可得ZEGF=90.3. 如图，表示一
11、个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面 的有对.答案：三4. 下图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题:E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。证明：直线EE1/平面FCq ；E11/1-/Jc1B1图14AB与CD所在直线垂直；CD与EF所在直线平行；AB与MN所在直线成60角；MN与EF所在 直线异面.其中正确命题的序号是（）A.B.C.D.答案：D5. 三棱柱的各面把空间分成几部分？解：分为21部分.6. 正方体的各面把空间分成几部分？7. 两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB, ME AC, NFB，且AM=FN,
12、求证：MN 平 面 BCE。8如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，ABCD, AB=4, BC=CD=2, AA2,9.如图，已知点P为平面ABC外一点，PAXBC, PC1AB，求证：PBMC.证明：过P作PO项面ABC于O,连接OA、OB、OC.,ZPO平面 ABC, BCu 平面 ABC,APOXBC.又 *ZPABC,ABC平面 PAO.又.OA u 平面 PAO,ABCOA.同理，可证ABXOC.AO是AABC的垂心.OBAC.可证 PO1AC.AAC平面 PBO.又 PB u 平面 PBO,PBAC.10.如图，在正方体ABCD-A1B1C
13、1D1中，求直线A1B和平面ACD所成的角.11.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1, G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心. 求证：A1O平面 GBD.W BDA1O.A1A 1 BDI n BD 1 平面人 AO 证明：AC 1 BD I1又.A1O2=A1A2+AO2=a2+（ * a ）2= 3 a 2 ,OG2=OC2+CG2=（ g a ）2+（ ； ）2= 3 a2,a 9AG2=AC12+C1G2=（ k：2 a）2+（ ）2= 4 a 2, ；.A1O2+OG2=A1G2.AQOG.又 BDnOG=OAO项面 GBD.12.如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线
14、段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长 为定值m,定长为n (nm)的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.求证：（1） ABXMN；（2） MN的长是定值.证明：（1）取PB中点H,连接HN,则HN#b.又 VABb,.ABHN.同理,ABXMH.AB 上平面 MNH. /.AB _LMN.（2）,.1 ABn b平面 PAB./bXPB.b 1 a J在 RtAPBQ 中,BQ2=PQ2-PB2=n2-PB2,在 RtAPBA 中,PA2=PB2-AB2=PB2-m2,两式相加 PA2+BQ2=n2-m2, Vab, /.ZMHN=90.:MN=MH2 + NH2 =：（乌）2 + （驾）2 = 1 v2 -m2 （定值
