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1、二次函数与一元二次方程及不等式一，二次方程基础概念当中，时，即得到二次方程 其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标1 根的判别式0时，方程有两个不相等的实数根；0时，方程有两个相等的实数根；0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根2 根与系数的关系（韦达定理） 二次方程根的分布根的位置图象位置等价条件（） 三、一元二次不等式x0ya0x0yx0yx1 x2x0一元二次不等式（或0）的解集，即函数的自变量的取值范围，使其函数值（或0）的自变量的取值范围授课：XXX =b24ac 0 =0 0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根 无实数
2、根一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集或（） x为全体实数一元二次不等ax2+bx+c0(a0)的解集 （）无解无解授课：XXX1， 例题：0x选择题 对任意实数t都有，那么（ A ）A B CD 已知在区间（，0）上单调递增，则a的取值范围是（ B ）ABC且D或 已知函数ylog（x26x7），则y（ D ）A有最大值没有最小值B有最小值没有最大值C有最大值也有最小值授课：XXXD没有最大值也没有最小值填空题方程有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是_解：令， 则，其函数图象如下：关于x的方程的两个实数根分别为，则的最小值是_解：方程有实数根，故或 又 或 （a3时取等号
3、） 应用题：1. 已知函数的图象与x轴无交点，求关于x的方程的根的范围授课：XXX解：的图象与x轴无交点，所以解得：2.5a3（1）当a（2.5，1时，方程化为 x（a3）（2a） a2a6（2）当a（1，3）时，方程化为x（a3）aa23a（4，18）综上所述：x（，18）2. 设a，b为实常数，k取任意实数时，函数y（k2k1）x22（ak）2x（k23akb）的图象与x轴都交于点A（1，0）（1）求a、b的值；（2） 若函数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的最大值解：a1，b1y（k2k1）x22（k1）2x（k23k1）|AB|的最大值为23. 设实数a、b、c满足a2b
4、c8a70 b2c2bc6a60 求a的取值范围解：1a94. 设二次函数（a0），方程的两个根满足（1）授课：XXX当x（0，）时，证明x；（2）设函数的图象关于直线对称，证明：解（2）依题意知x0因为x1，x2是方程f（x）x0的根，即x1，x2是方程ax2（b1）xc0的根，所以 x1x2 x0因为，所以5. 若关于x的二次方程7x2（p13）xp2p20的两根满足012求实数p的取值范围解：设f（x）7x2（p13）xp2p2根据题意得：即 解得：p（2，1）（3，4）6. 已知二次函数y=x2（2m+4）x+m24（x为自变量）的图像与y轴的交点在原点下方，与x轴交于A，B两点，点A
5、在点B的左边，且A，B两点到原点的距离AO，OB满足3（OBAO）=2AOOB，直线y=kx+k与这个二次函数图像的一个交点为P，且锐角POB的正切值4 （1）求m的取值范围； （2）求这个二次函数的解析式；授课：XXX （3）确定直线y=kx+k的解析式解 （1）m240， 2m2 （2）二次函数的解析式为y=x22x3 （3）由y=x22x3，得A（1，0），B（3，0） 强化训练 一、填空题1与抛物线y=2x22x4关于x轴对称的图像表示的函数关系式是_y=2x2+2x+4_2已知二次函数y=（a1）x2+2ax+3a2的图像最低点在x轴上，那么a=_2_，此时函数的解析式为_y=x2+
6、4x+4 _3某涵洞的截面是抛物线型，如图1所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=x2，当涵洞水面宽AB为12m时，水面到桥拱顶点O的距离为_9_m 图1 图2授课：XXX4甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=s2+s+如图2，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为m，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是_5m4+_5若抛物线y=x2与直线y=x+m只有一个公共点，则m的值为_6设抛物线y=x2+（
7、2a+1）x+2a+的图像与x轴只有一个交点，则a18+323a6的值为_5796_7已知直线y=2x+3与抛物线y=x2相交于A，B两点，O为坐标原点，那么OAB的面积等于_6_8（2008，安徽）图3为二次函数y=ax2+bx+c的图像，在下列说法中： ab0；当x1时，y随着x的增大而增大正确的说法有_（请写出所有正确说法的序号） 图3 图4 图5授课：XXX二、选择题9小敏在某次投篮球中，球的运动路线是抛物线y=x2+3.5的一部分（图4），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是（ B ） A3.5m B4m C4.5m D4.6m10当m在可以取值范围内取不同的值时，代数的最小值是（ B
8、 ） A0 B5 C3 D911二次函数y=ax2+bx+c的图像如图5所示，则下列结论：a0，c0，b24ac0，其中正确的个数是（ C ） A0个 B1个 C2个 D3个12抛物线y=x2+（2m1）x+m2与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ C ） Am Bm Cm Dm13根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ C ）x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c0.030.010.020.04 A6x6.17 B6.17x6.18 C6.18x6.19 D6.19x6.
9、20授课：XXX14 若二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像的顶点在第一象限且经过点（0，1）和（1，0），则S=a+b+c的值的变化范围是（A ） A0S2 B0S1 C1S2 D1S115二次函数y=ax2+bx+c（a0）的最大值是零，那么代数式a+的化简结果是（ B ） Aa Ba C D016（2006，甘肃兰州）已知y=2x2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x轴，y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ B ） Ay=2（x2）2+2 By=2（x+2）22 Cy=2（x2）22 Dy=2（x+2）2+2三、解答题17（2006，吉林省）如图，三孔桥
10、横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状，大小都相同正常水位时，大孔水面宽度AB=20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4.5m（即NC=4.5m）当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF 设抛物线解析式为y=ax2+6，依题意得，B（10，0） a102+6=0，解得a=0.06即y=0.06x2+6， 当y=4.5时，0.06x2+6=4.5，解得x=5， DF=5，EF=10，即水面宽度为10m授课：XXX18（2008，安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=x2+3x+
11、1的一部分，如图所示 （1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4m，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4m，问这次表演是否成功？请说明理由（1）y=x2+3x+1=（x）2+ 0，函数的最大值是 答：演员弹跳离地面的最大高度是m （2）当x=4时，y=42+34+1=3.4=BC，所以这次表演成功19（2006，沈阳市）某企业信息部进行市场调研发现： 信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：yA=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元； 信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：yB=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获得3.2万元授课：XXX （1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资10万元请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少 解 （1）当x=5时，yA=2，2=5k，k=0.4yA=0.4x，当x=2时，yB=2.4； 当x=4时，yB=3.2 解得 yB=0.2x2+1.6x
