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1、高一年级数学暑假自主研修校本教材 一、数和式的运算 一）、必会的乘法公式 【公式1】 证明： 等式成立【例1】计算：解：原式= 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列【公式2】(立方和公式)证明: 说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算： （2a）（4a2-22）=8 a33【公式3】(立方差公式)1计算（1）（32y）（9x2-64y2）=（2）（23）（4x2+69）=（3）=（4）（）（a22）（）（a22）=2利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m33=（2）27m33=（3）x3-125=（4） m66=【公式4】【公式5】【例3】计算：（1）（2）
2、（3）（4）解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要视察代数式的结构是否满意乘法公式的结构 （2）为了更好地运用乘法公式，记住1、2、3、4、20的平方数和1、2、3、4、10的立方数，是特别有好处的【例4】已知，求的值解： 原式=说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐本题是依据条件式和求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请留意整体代换法本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，依据题求利用题知，是明智之举【例5】已知，求的值解：原式= ，把代入得原式=说明：留意字母的整体代换技巧的应用二）、根式式子
3、叫做二次根式，其性质如下：(1) (2) (3) (4) 【例6】化简下列各式：(1) (2) 解：(1) 原式=(2) 原式=说明：请留意性质的运用：当化去肯定值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类探讨【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1) (2) (3) (4) 解：(1) = (2) 原式=(3) 原式=(4) 原式=说明：(1)二次根式的化简结果应满意：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或整式化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；分母中有根式(
4、如)或被开方数有分母(如)这时可将其化为形式(如可化为) ，转化为 “分母中有根式”的状况化简时，要把分母中的根式化为有理式，实行分子、分母同乘以一个根式进行化简(如化为，其中和叫做互为有理化因式)有理化因式和分母有理化 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，假如它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。如和；和互为有理化因式。分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。【例8】计算：(1) (2) 解：(1) 原式=(2) 原式= 说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算【例9】设，求的值解：原式
5、=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当干脆代入运算较困难时，可依据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量练 习1二次根式成立的条件是()ABCD是随意实数2若，则的值是()ABCD3计算：(1) (2) (3)(4) 4化简(下列的取值范围均使根式有意义)：(1) (2) (3) (4) 5化简：(1) (2) 6若，则的值为()：ABCD7设，求代数式的值8已知，求代数式的值9设，求的值10化简或计算：(1) (2) (3) 答案：1 C 2 A3 (1) (2) (3) (4) 45 6 D 7 8 3 9 10三）、分式当分式的分子、分母中至少
6、有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质【例10】化简解法一：原式=解法一：原式=说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，实行通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质进行化简一般依据题目特点综合运用两种方法【例11】化简解：原式=说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式四）、多项式除以多项式做竖式除法时，被除式、除式都要按同一字母的降幂排列，缺项补零（除式的缺项也可以不补零，但做其中的减法时，要同类项对齐），要特
7、殊留意，得到每个余式的运算都是减法。结果表示为：被除式=除式商式+余式【例1】 计算解：练 习计算123已知求：答案：123二、因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它和整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等一）、公式法【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) (2) 分析： (1)中，(2)中解：(1) (2) 说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，常常要逆用
8、幂的运算法则，如，这里逆用了法则；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，肯定要看准因式中各项的符号【例2】分解因式：(1) (2) 分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现，可看着是或解：(1) (2) 二)、分组分解法从前面可以看出，能够干脆运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组1分组后能提取公因式【例3】把分解因式分析：把多项式的四项按前两项和后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，
9、然后从两组分别提出公因式和，这时另一个因式正好都是，这样可以接着提取公因式解：说明：用分组分解法，肯定要想想分组后能否接着完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试【例4】把分解因式分析：依据原先分组方式，无公因式可提，须要把括号打开后重新分组，然后再分解因式解：说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了安排律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用2分组后能干脆运用公式【例5】把分解因式分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中
10、一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是.解：【例6】把分解因式分析：先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可接着分解因式解：说明：从例5、例6可以看出：假如一个多项式的项分组后，各组都能干脆运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式三)、十字相乘法1型的因式分解这类式子在很多问题中常常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和因此，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二
11、次三项式分解因式【例7】把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号和一次项系数的符号相同【例8】把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中肯定值较大的因数和一次项系数的符号相同【例9】把下列各式因式分解：(1) (2) 分析：(1) 把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成和的积，而，正好是一次项系数 (2) 由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式解：(1) (2) 2一般二次三项式型的因式
12、分解大家知道，反过来，就得到：我们发觉，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，假如它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必需留意，分解因数及十字相乘都有多种可能状况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解【例10】把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1时较困难，详细分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否
13、符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”肯定值，然后调整，添加正、负号四)、其它因式分解的方法1配方法【例11】分解因式解：说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解当然，本题还有其它方法，请大家试验2拆、添项法【例12】分解因式分析：此多项式明显不能干脆提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，假如它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决解： 说明：本解法把原常数4拆成1和3的和，将多项式分成两组，满意系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件本题还可以将拆成，将多项式分
