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1、三角恒等变换专题复习（一）2012-8-7一、基本内容串讲1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：精品资料sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos msin sintan(tan tan1 mta n tana tan B ），有时应用该公式比较方便。对其变形：tan a+ tan B =tan（ a +B ）（1- tan2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2 sin cosc2cos2 cos.2 sin2 22cos 1 1 2si ntan 22ta n1 tan2.特别注意公式的三要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角一降次，降角一
2、升次）1 cos 22sin2这两个形式常用角表达形式，且要善于变形，cos23. 辅助角公式：4. 简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。5. 常见题目类型及解题技巧（最后师生共同总结）二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。1、 sin20ocos40o cos20osin40o 的值等于（）42、 若 tan3， tan ，则 tan
3、（ ）等于（）3考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式23、cos cos 一的值等于（ ）5534、已知0 A ，且cos A ，那么sin2A等于（）25考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换5、已知tan()-,tan(1)-,则tan()的值等于(-)5444226、已知口 sin1sin, cos1cos一，则cos()值等于(聖)23727、函数f (x)cos2 (x)sin 2(x) 1 是(C )1212(A)周期为2的奇函数(B)周期为2的偶函数(C)周期为的奇函数(D)周期为的偶函数三、解题方法分析1 熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现
4、的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正 的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。sin 502cos 25，则有(1cos6 sin6,b2ta n1 J,。【点评】：本题属于“理解”层次,要能善于正用、逆用、变用公式。例如:sin cos，cossi n22sincos2-2 sincos 2童tan21 - tan12 sincos (sincos)21 cos22 ，等。另外，三角函数式2 cos-2 sin，1cos22cos 2，tanc22 cos+ tanB =ta n(cos 22 sin2a + B )(1
5、- tan a tanasinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为221 tan 13 b.a2 b2 sin(x )即 asinx+bcosx= . a2 b2 sin(x )(其中 tan )是常用转化手段。 a特别是与特殊角有关的sin cosx， sinx , 3 cosx，要熟练掌握其变形结论。2 明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口(1) 运用转化与化归思想，实现三角恒等变换【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想， 应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例 2.已知
6、 n V B V a V 5，cos ( a B )二12， sin (a + B )=-，求 si n2 a 的24135值.(56652 a = ( a B ) + ( a + B)(本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点，例2解答:例 3.化简：2si n50 +sin10 (1 +、3ta n10 ) sin2 80 【解析】：原式=【点评】：本题属于“理解”层次 ，解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与 差的三角函数关系式整理化简化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数 尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量
7、求出值来。(2) 运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变 换中，可以把某个三角函数式看作未知数，禾U用条件或公式列出关于未知数的方程求解。的值.例 4：已知 sin (a + p ) =- , sin ( a B ) =3，求 J tan_tan34tan tan( )【解析】tan( ) tan tan _tan(2 一tan tan( )tan( )(1 tan2tan tan( )tan ) = tantan=17【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件 运
8、用方程思想达到求值的目的。(3) 运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个例 5:若 sinsin迈求求 coscos2【解析】：令coscost，则(sin式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。1即 2 2cos( ) t2 2cos( ) 2 t2 3 2,1 t27,J42 22 2的取值范围。sin )2 (cos2cos )t2 2t2 32t 土，即2cos2cos.142cos cos 看作一个整体，通过【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子 代数、三角
9、变换等手段求出取值范围。3 关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的 联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。r _rr r例 6:已知：向量aC，3,1) ，b(sin2x, cos2x)，函数 f (x) a b(1) 若f(x) 0且0 x ，求x的值；x 或12 12(2) 求函数f (x)取得最大值时，向量a与b的夹角.【解析】：f (x) a b = . 3sin 2x cos2x得cosr a片 r b ra,(2)2si n(2x)6r r r rr r
10、f(X)max 2 ，当 f(x) 2时，由 a b |a| |b|cos a,b 2【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识 的分析和计算能力四、课堂练习1. sin165 o=()A . 12B .三2C .6 2D .6()A.等边三角形C.不等边三角形B .等腰三角形D .直角三角形16化简需2cos2cos 217.求证:1 2sin coscos2sin2 a1 tan1 tan精品资料cos .18.已知 sin a =12 , sin ( a + p ) =- , a 与 B 均为锐角，求135五.总结: 常见题型及解题技巧（手记）六、今日作业，详见学案（手记）：Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！
