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1、平方根 知识点总结【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.2.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 要点二、平方根和算
2、术平方根的区别与联系1区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若24与31是同一个
3、正数的两个平方根，求的值【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到24（31），解方程即可求解【答案与解析】解：依题意得 24（31），解得1；的值为1【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数举一反三：【变式】已知21与2是的平方根，求的值.【答案】21与2是的平方根，所以21与2相等或互为相反数.解：当212时，1，所以当21（2）0时，1，所以2、为何值时，下列各式有意义？(1)； (2)； (3)； (4)【答案与解析】解：(1)因为，所以当取任何值时，都有意义(2)由题意可知：，所以时，有意义(3)由题意可知：解得：所以时有意义(
4、4)由题意可知：，解得且所以当且时，有意义【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义举一反三：【变式】已知，求的算术平方根【答案】解：根据题意，得则，所以2，的算术平方根为类型二、平方根的运算3、求下列各式的值(1)；(2)【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)；(2)【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法
5、来解，熟练后直接根据来解类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的.（1） （2）；（3）【答案与解析】解：（1） （2） 117 16或18. （3） 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的：（1）若，则_； （2），则_；（3）若则_； （4）若，则_【答案】（1）1.1；（2）13；（3）；（4）2.类型四、平方根的综合应用5、已知、是实数，且，解关于的方程【答案与解析】解：、是实数，3，把3，代入，得24，6【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出
6、、的值，再解方程此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可举一反三：【变式】若，求的值【答案】解：由，得，即，当1，1时，当1，1时，6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3 (0) ，则宽为2，依题意得 . . . 0， . 长方形纸片的长为. 5049, . , 即长方形纸片的长大于20. 由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20, 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片.
