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1、第三章 动量守恒定律和能量守恒定律3-1 架以3.0 102 ms 1的速率水平飞行的飞机，与一只身长为0.20m、质量为0.50kg的飞鸟相碰。设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率很小， 可以忽略不计。估计飞鸟对飞机的冲击力，根据本题的计算结果，你对高速运动的物体与通 常情况下不足以引起危害的物体相碰后产生后果的问题有什么体会？解：以飞鸟为研究对象，其初速为 0，末速为飞机的速度，由动量定理。-lF t mv 0, t联立两式可得：vmv 2F2.25 105Nl飞鸟的平均冲力FF2.25 105N式中的负号表示飞机受到的冲击力与飞机的运动速度方向相反。从计算结果
2、可知 F2.25 105 N大于鸟所受重力的4.5万倍。可见，冲击力是相当大的。因此告诉运动的物体与通常情况下不足以引起危险的物体相碰，可能造成严重 的后果。3-2质量为m的物体，由水平面上点0以初速为v0抛出，v0与水平面成仰角。若不计空气阻力。求：（1）物体从发射点 O 到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射 点到落回至同水平面的过程中，重力的冲量。解：（1）在垂直方向上，物体 m 到达最高点时的动量的变化量是：P 0 mv sin1而重力的冲击力等于物体在垂直方向的动量变化量：I P 0 mv sinmv sin1 1 0（2）同理，物体从发射点到落回至同水平面的过程中，重力的冲
3、力等于物体竖直方 向上的动量变化量1 P mv mv mv sin mv sin 2mv sin2 2 2 1负号表示冲量的方向向下。3-3高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质量为51.0kg的人，在操作时不慎从高空跌落下来，由于安全带保护，最终使他悬挂起来。已知此时人离原处的距离为 2.0m，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s求安全带对人的平均冲力。解：在人下落的整个过程中，重力的冲量和安全带冲量相等，但方向相反。设人自由落体的那段时间为 tir2htg则 II mv mv 0m gF 21mg (t_0.5) F 0.50,代入h 2.0m, g 9.8ms 2,m 51.0kgF m
4、g (t 0.50)/0.501.14 103 N3-4质量为m的质点作圆锥摆运动，质点的速率为v,圆半径为R。圆锥母线与轴线之zJk间的夹角为 ,计算拉力在一周内的冲量。 解：建立图 3-4所示的三维直角坐标系 根据功能原理，质点运动一周内，合力的冲量为IIIr T pmv 0所以拉力在一周内的冲量为 I I ( mg T K )Tp2R图3-4mgT为拉力，P为重力。3-5 作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面19.6m爆炸1.00s后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为1.00x 102m。 问第二块 落在距抛出点多远的地面上。(不计空气阻
5、力)解：建立如图 3-5 所示的坐标系，爆炸后，两碎片落地后，抛出点的距离分别为 x1,x2爆炸前物体的运动时间为：t0;2hV gx物体在最高点只有水平速度：V0才0爆炸后，第一块的速度为V，经时间t落地，则：h V占gtj 爆炸前后系统动量守恒，其分量式为x 方向：mV-V0 2 2 xy 方向：01 mV1 mV22 y 2 1爆炸后，第二块作斜抛运动，经过时间t2落地，则:xxVt212x 21yhVtgt222 y 222落地时， y20联立所有式子，得： x2 500m3-6 A 、B 两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳的传递50kg的重物，结果是
6、A船停下来，而B船以3.4m/s的速度继续向前驶去。A、B两船原有质量为5 103kg和1.0 103kg,求在传递重物前两船的速度。(忽略水对船的阻力)。解：由于忽略水对船的阻力，满足水平方向动量守恒定律。设两船的速度分别为A0VB0，末速度为VA、VB原来的质量分别为MM 转移的质量为mB0At BtAB对上述系统I应用动量守恒定律：(搬出重物后A船与从B船搬入的重物为一个系统) (M m )V mV M VAA0B0 A At对系统II应用动量守恒定律：(B船与从A船搬入的重物为一个系统)(M m )V mV M VBB0A0B Bt由上面两式联立解出：M mVV BBA 0 (M m
7、)(M m ) m 2BA (M m )M VV AB_BtB 0 (M m )(Mm ) m 2AB将已知数据代入得V 0.40m s 1(负号表示与 B 船的速度方向相反 )A0V 3.6m s 1B03-7质量为m的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成 角的速率v向前跳去。当他达到最高点时，他将物体相对于人为u的水平速度向后抛出。问：由于抛出物 体，他跳跃的距离增加了多少？(假设人可视为质点)解：把人与物可视为一系统，当人跳跃到最高处，向左抛出的过程中，满足动量守恒定 律，有(m m )v cos m v m (v u)0 mv v cos , u0 m m人从最高点开始水平运
8、动的距离为m v sinS (v cos；u) 010 m m g如果不抛物人从最高点开始水平运动的距离为v sinS v cos-020g人跳跃后增加的距离为S S S12mv sin0(m m )g3-8 一质量均匀柔软的绳竖直的悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上 端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落过程中的任意时刻，作用于桌面上的压力等于 已落到桌面下绳的重量的三倍。证：以绳子上端初始位置为坐标原点，竖直向下为 y 轴正向，绳子的线密度为 ，设在 t时间内落到桌面上的绳子长度为y,这段绳子所受的重力为G mg yg,对于tt dt内下落绳子长设为 dy ，桌面对绳子的冲
9、力为 F由动量定理dPdmdyFV V V 2dtdtdt桌面在t dt时间内所受的合力为F G F gy V 2由自由落体运动V 2 2gy，带入上式：F 3 yg 3G证毕。3-9设在地球表面附近，一初质量为5.00 IO5 kg的火箭，从尾部喷出气体的速率为2.00 103m s 1。（1）试问：每秒喷出多少气体,才能使火箭最初向上的加速度为4.90 10m s 2；（2）若火箭的质量比为 6.00，求该火箭的最后速率？解：以绳子上段初始位置为坐标原点，竖直向下为y轴的正向，绳子的线密度为A设 在t时间内落到桌子上的绳子的长度为y，这段绳子所受的重力为G=mg=舟g，对于tt+dt 内下
10、落的绳子长设为dy，桌面对绳子的冲击力为F由动量守定律dpdmdyFv vv2dtdtdt桌面在t+dt时间内所受的合力为F G F gy v2自由落体运动v2 2gy，代入上式得：F 3 gy 3G证毕。3-10设在地球表面附近，一初质量为5.00 105kg的火箭，从尾部喷出的气体的速率为 2.00 103ms 1 。试问：（1）每秒需喷出多少气体，才能使火箭最初向上的加速度大小为4.90ms 2；（2）若火箭的质量比为 6.00，求该火箭的最后速率。dm解：设火箭受气体的冲击力为F则F vo dt再由牛顿第二定律得：dmvmg ma0 dt现在考虑m05.00 105 kg,a4.9ms
11、 2,v002.00 103 ms 1。则燃料喷出率为：dm m (g a )00dt v03.68 103 kg s 1(1)将&dv毗代入式,分离变量并积分可得：(2)所以vvvlnmgt00m0dm1mt由于m0dt即m6m00vdvv0v0m 0 mm dmtgdt01 5m6解得：七詞 6dt将（3）式代入（2）式并考虑初始条件可得火箭的最后速率为：mv v ln gt 2.47 103ms 1 t 0 m03-11 火箭垂直向上发射，它的气体质量排出率恒为5.00 10 2m s 1，其中山。是火箭最初的质量。火箭排除的气体相对于火箭的速率为5.00 103m s 1。求发射 后火
12、箭 速率和高度。（重力略去不计）解：以发射点为原点建立垂直向上的坐标轴。丫，设t时刻火箭（含未排除气体）的质 量为m，速率为v，经dt时间排出气体质量dm，火箭速率变为v dv，排出气体的速 率为 u （v dv） ，由于忽略重力，系统的动量守恒，所以有：mV （m dv（v dv） dm （ u vtdv）u整理得：dvdmm（2）当上式积分并考虑 v00 时， m m 0m所以：V ulnm设m m0 kt （其中k 5.00 10 2m s 1）代入（1）式得u lnmmokt故t 10s时，V 3.47 10am s 1dydy m将V 代入（2）式得 uln0-dtdt m kt0分
13、 离 变 量 积 分 ， 并 代 入 初 始 条 件 t 0 时 ， y 0 得 火 箭 发 射 10s 后 的 高 度10 mu ln0m kt 00dt 1.53 104 m3-12铁路上有一静止的平板车，其质量为m,设平板车可无摩擦的在水平轨道上运动，现 有N个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m，相对平板车的速度均为u问：在下 列两种情况下，（1） N 个人同时跳离；（2）一个人，一个人的跳离，平板车的末速度是多 少？所得的结果为何不同，其物理原因是什么？解：（1）所有人同时跳，水平方向动量守恒。车的末速度为V，人的速度为V u所以 0 m V Nm (V u)NmVum Nm2）
14、若 N 个人一个一个跳，则每个人跳车的动量守恒方程为V1第一人跳： 0 mu)m (N 1)m V ;VNm第二个人跳：m (N 1)m V1(V2u) m (N2)m V ;V22mm (N 1) u以此类推： V VNN1将以上各式两边相加，m,umm化简后得平板车的末速度为;NmVuN m nm n1由于 m nm m Nm所以vn V即一个一个跳，车的末速度大于 N 个人同时跳车的末速度。其物理原因是 N 个人逐跳 时，车的速度逐次增大，导致跳车者对平板车所做的功也逐次增大，因而平板车获得的动能 要大于 N 个人跳的情况。3-13如习题3-13图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮，系在质量1-00kg
