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1、相关系数及其几何意义在实际问题中,我们常常要研究两个变量的相关性 .例如:研究某 行业的变动对另一行业的影响,某生理指数与某疾病的相关性.更一般 的,当我们观测多个变量时,要分析多个变量间的相关性 ,进而根据某 种标准,对这些变量进行筛选.当然,两个变量是最基础的情况,故我们 首先对两个变量间的相关性.相关系数:设x = （x x ）； y = （y，,y ）为两个向量,它们可能是从两个总体1n1n中抽样出来的数据在数学中，我们希望定量的刻画它们的相关程度.自然地,我们会想到用误差平方和的最小值Q = min (y - a _九 x )2i=10a，九 nii来衡量如果有某个a和九使得q =0
2、,则可以说x与y完全相似否则就0以q的大小来描述它们的相似程度为求q值，我们可对00Q（a,九）= （y 一a-九x ）2（ 2）niii=1关于a和九求导，并令其等于0,即匹=-工(y - a-九x ) = 0da n ii=0卑=-2 丈(y - a)x -九x2 d九 n 1- i i i i=1解得，三匚倉 (x - x)2ii=1将(3)式代入(1)式得:Q =丄工(y -y)20 n ii=1(工(x - x)(y - y)2ii1 i=工(x - x)2 工(y - y)2iii=1i=1= (y -y)2(1-p2),n ixyi=1其中记pxy工(x - x)(y - y)i
3、ii=1(工(x -x)2(y - y)2)/2iii=1i=1由此还可以得到最小相对误差平方和E =0 = 1 p 2 .01 nxy-L (y -y)2 nii=1由于e消除了 x,y的测量单位带来的影响，所以它比q用来衡量x,y的00相关程度更为合理,等价的以|pj来作为衡量x与y相关的度量，并称p为x,y的相关系数，当Ip |越大(从而e越小),则x,y越相关，当Ip I越xyxy0xy I小(从而e越大)，则x与y越不相关.0自然的,我们很容易证明相关系数的一个重要性质:0 p 1.xy相关系数的几何意义下面我们将研究相关系数的几何意义 ,同时,我们将引进无关系数的概念.在n维欧氏空
4、间Rn中考虑数据向量x,y,在Rn中这两个向量的数积为xy = 2 x y，于是定义的x,y的相关系数为iiXHynp = COS Vxy |Hx|Hy|/其中H为中心化矩阵,V为Hx和Hy的夹角.我们用a,卩分别记Hx和Hy的单位向量，则有Hx b 二 Hy即可得p = aB /xy则相关系数的值是由a在B上的正交投影所决定的，也就是说由向量a和B的夹角V所决定的，由于a , B以及夹角V 决定a, B为边所张成的 平行四边形的面积,故也可以用这个平行四边形的面积来衡量 x,y 的 相关程度.为求平行四边形的面积的值，利用施密特正交化，首先求出由a, B张成的2维子空间的法正交基8 8 ,取
5、1,28 = a,18 = 1(卩-(aB )a)2 y1 - (aB )2由初等几何知识可知，平行四边形面积的值等于a到8的投影与B到18投影之积，即2S=(叫(B8 2).1 - (aB )2由 p = aB，知:S2 = 1 -p2xyxy可见上文中的 E 的几何意义就是单位向量 a,B 张成的平行四边形的0面积之平方.根据 S 2 =1 p 2 可等价的用S值来描述x,y的相关程度，为此我们称xyS为x,y的无关系数,S值越大,x,y越无关,S值越小,x,y越相关由0 p | 1，显然有xy0s2 1.由于S= 12 = (xHx)(yHy)-(X Hy)2 ,P(x Hx)(y Hy)故x，y无关系数之平方和s2的几何意义是:由Hx,Hy为边所张成的平 行四边形之平方与以 戶卜|Hy为边张成的矩形面积之平方的比值特 别的,当Hx与Hy正交时,s2 =1,当s2 =0时,Hx与Hy共线，即Hx与 Hy线性相关.
