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1、 1 1专题对点练22直线与圆及圆锥曲线专题对点练第35页1.(20xx河南南阳、信阳等六市一模,理20)如图,抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线上一定点Q(1,2).(1)求抛物线C的方程及准线l的方程;(2)过焦点F的直线(不经过点Q)与抛物线交于A,B两点,与准线l交于点M,记QA,QB,QM的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在常数,使得k1+k2=k3成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.解 (1)把Q(1,2)代入y2=2px,得2p=4,所以抛物线方程为y2=4x,准线l的方程为x=-1.(2)由条件可设直线AB的方程为y=k(x-1),k0.由抛物线准线l:x=-
2、1,可知M(-1,-2k).又Q(1,2),所以k3=k+1,把直线AB的方程y=k(x-1),代入抛物线方程y2=4x,并整理,可得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,又Q(1,2),则k1=,k2=.因为A,F,B三点共线,所以kAF=kBF=k,即=k,所以k1+k2=2(k+1),即存在常数=2,使得k1+k2=2k3成立.2.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是AB
3、F的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解 由题知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=-b=k2.所以ARFQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF=|b-a|FD|=|b-a|,SPQF=.由题设可得2|b-a|,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得(x1).而=y,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时,E与D重合
4、.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.3.(20xx河南许昌、新乡、平顶山二模,理20)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于点A,B,当直线l的倾斜角是45时,AB的中垂线交y轴于点Q(0,5).(1)求p的值;(2)以AB为直径的圆交x轴于点M,N,记劣弧的长度为S,当直线l绕F旋转时,求的最大值.解 (1)抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,当l的倾斜角为45时,l的方程为y=x+.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-2px-p2=0,x1+x2=2p,y1+y2=x1+x2+p=3p,得AB中点为D,AB中垂线为y-p=-(x-p),将x
5、=0代入得y=p=5,解得p=2.(2)设l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0,|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,AB中点为D(2k,2k2+1),令MDN=2,S=2|AB|=|AB|,=,D到x轴的距离|DE|=2k2+1,cos =.当k2=0时,cos 取最小值,的最大值为.故的最大值为.4.在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|
6、成等比数列,求的取值范围.解 (1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r=2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=,所以+()2=22,即m=.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得=x2+y2,即x2-y2=2.因为=(-2-x,-y)(2-x,-y)=2(y2-1).由于点P在圆O内,故由此得y2|DN|=2,Q的轨迹是以D,N为焦点的椭圆,且c=,a=3,b=2,所求点Q的轨
7、迹方程是=1.(2)设l:y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),与椭圆联立,可得9x2+6mx+2m2-18=0,x1+x2=-m,x1x2=(2m2-18),|AB|=,C到直线l的距离d=,又S=|AB|d=,m=3时,S最大,此时直线l的方程为y=x3.导学号168042166.(20xx安徽黄山二模,理20)已知椭圆E:=1(a)的离心率e=,右焦点F(c,0),过点A的直线交椭圆E于P,Q两点.(1)求椭圆E的方程;(2)若点P关于x轴的对称点为M,求证:M,F,Q三点共线;(3)当FPQ面积最大时,求直线PQ的方程.(1)解 由a=,c=ea=2,则b2=a2-c2=2,故椭圆E的方程是=1.(2)证明 由(1)可得A(3,0),设直线PQ的方程为y=k(x-3),由方程组得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,依题意=12(2-3k2)0,得-k0,得m2.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=.SFPQ=|AF|y1-y2|=,令t=m2+3(t3),则SFPQ=|y1-y2|=,t=m2+3=9,即m2=6,m=时,SFPQ最大,SFPQ最大时直线PQ的方程为xy-3=0.导学号16804217
