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1、i=jI三三空间解析几何与向量代数一、向量代数(i) 有关空间直角坐标系下点坐标的问题。1. (4)在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(D)( - 2, 3, 4)(A) (2, 3, 4)(B) (2, 3, 4)(C) (2, 3, 4)解：(A)W(B)V(C)伽3、2. (6)若 A(1,1,3), B(1,3,0)，则 AB 中点坐标为(i，y),2(D)mI AB = 5 .3. (7,)求(a,b,c)点关于(1)各坐标面(2)各坐标轴(3)坐标原点的对称点坐标。解：(1) xoy (a, b, c), yoz (a, b, c), xoz (a, b, c)(2) x
2、 (a, b, c), y (a,b, c),z (a, b,c)(3) o(0,0,0) (a, b, c)4. (4)若点M的坐标为(x, y, z)，则向径OM用坐标可表示为(x, y, z)或x, y, z.5. (8) 一边长为a的立方体放置在xoy面上，其下底面的中心在坐标原点，底面的顶点在 x轴和y轴上，求它各顶点的坐标。2 解：( - a,0,0), (。, - a,0), (5 ，a), (,土丁 a, a)AAAA6. (7)已知 A(1, 2,4), B(6,2, t)，且I AB I= 9，求(1) * ； (2)线段 AB 的中点坐 标。55解：(D 0或8,(2)(
3、,0, 2)或(,0, 6)22(ii) 有关向量概念及向量线性运算的坐标表示。计算M1M的模、方向余弦、方向角及B = 3k ,47. (8)设已知两点M(4,巨,1)和M2(3, 0, 2), 单位向量。/ 1；2 1、2兀(3)解：(1)模 2, (2) ( , ，)，a = , (1，-立,1)或(1，笠，1)22 22 228. (6)若以，P，丫 为向量a 的方向角，则cos2 a + cos2 P + cos2y= j: sin2 a + sin2 P + sin2 y = 2.9. (6)设 m = (3,5,8), n = (2,-4,-7)和 p = (5,1,-4),求向
4、量 a = 4m + 3n - p 在 % 轴 上的投影及在y轴上的分向量。解：(1) 13,(2) 7 j (v a = 4m + 3n p = 4(3,5,8) + 3(2,-4,-7) (5,1,-4)=(13,7,15)10. (6)已知点P的向径OP为单位向量，且与乙轴的夹角为-，另外两个方向角相等，6求点P的坐标。解：(2, 工,.)22* 211. (6，)已知向量a与各坐标轴成相等的锐角，若i a i= 2百，求a的坐标。v3解：因为 3cos2 a= 1 n cos a =，所以 a = |a|cosa = 2*3 x = 2同理 a = a = 2，故 a = (2,2,2
5、)(iii) 向量的数量积与向量积及其坐标运算。12. (4，)下列关系式错误的是(D )11111 一1C(A) a - b = b - a (B) a x b = -b x a (C) a 2 =| a I2(D) a x a = 013. (7，)设a = (3,-1,2)，b = (1,2,-1)，求a - b 与 a x b.解：a - b =-1，a x b = L 3,5,714. (7，)设a = (2,-3, 2), b = (-1,1, 2), 1 = (1, 0, 3)，求(a x b) -1.2 - 3 21解：(a x b) - c = 1 1 2 =-1110 3(
6、iv) 用向量的坐标来判断向量间的特殊位置关系，会求一向量在另一向量上的投影。15.确定下列各组向量间的位置关系：(1) (4,) a = (1,1,-2)与 b = (-2,-2,4)a | b1-(2) (4,) a = (2,-3,1)与b = (4,2,-2)a 1 b 16. (7，)求向量a = (4,-3,4)在向量b = (2,2,1)上的投影。解:prj a 二ba cos(a,b)ab=6 = b 3(v) 用向量积来计算有关平行四边形和三角形的面积问题。 _1 _ 一17. (7,)已知：OA = i + 3k , OB = j + 3k，求 AOAB 的面积。解：S 小
7、=2 OA x OB =18. (7，) AABC三顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为A3 , y ),B(工，y ),C(x , y ),1 12233则如何用向量积的方法来求出AABC的面积?xy1|111S =xy1AABC22211xy33解：119. (7,)试找出一个与a = (1,2,1),b = (0,1,1)同时垂直的向量。解:人(a xb)=人i j k121011=人(1,1,1)III、综合应用题型：(i) 涉及到代数向量(即用坐标表达式表示的具体向量)的综合计算问题。20. (10，)已知三点M 1(2,2,1),M 2(1,1,1),M3(2,1,2), (1)求之
8、吃M2M3 ；求与M1M 2, M 2 M 3同时垂直的单位向量。解：(1)M M = (1,1,0) M M = (1,0,1), cos(M M M M )=-2 12321232(2)21. (8，)已知A(1,0,0),B(0,2,1)，试在z轴上求一点C，使AABC的面积最小。解：设C(0,0,z), A2 =4(5z2 2z + 5) n z = 5二、平面方程(i) 三点式平面方程的求法，根据一般式方程指出平面的特殊位置。26. (7，)求过三点M 1(2,1,4),M2(1,3,2),M3(0,2,3)的平面方程。你能给出过此三点的平面方程吗?若 A(x , y , z ),
9、B(x , y , z ), C(x , y , z )不共线，111222333一 fj k解:因为平面的法向量为n = miM2 乂 MiM3 =4 - 6 = (14,9,-1)3 -1故 14(x - 0) + 9(y - 2) - z(z - 3) = 0.14x + 9y - z -15 = 0x - x y - y z - z111x - x y - y z - z = 02 12 12 1x - x y - y z - z3 13 13 127. 指出下列平面方程的位置特点，并作示意图:(1) (5)y -3 = 0 ；(2) (5)3y + 2z = 0 ；(3) (5)x-
10、 2y + 3z -8 = 0.解：(1)过点(0,3,0)且平行于坐标面xoz的平面。(2) 过x轴且垂直于坐标面yoz的平面。 . 8(3) 截距分别为8,-4,3的平面。(ii) 二平面垂直与平行的判定。28. 判定下列两平面之间的位置关系：(1) (4)x + 2y-4z = 0与2x + 4y-8z = 1.(2) (4)2x- y + 3z = 1 与 3x- 2z = 4.解 (1)平行；(2)垂直兀(iii) 二平面夹角的计算(夹角规定为0, 一)。229. (4，)求两平面x- y + 2z - 6 = 0和 2x + y + z -5 = 0 的夹角。=|=2，故 e=三(
11、iv) 点到平面距离的计算。133 + 8 - 36 +12|30.(4，)点(1,2,3)到平面3x + 4y -12z +12 = 0 的距离d =32 + 42 +12213231. (7,)求Ax + By + Cz + D = 0 与 Ax + By + Cz + D2 = 0之间的距离。 解：在 Ax + By + Cz + D = 0 上取一点(0,0,-*),由点到平面的距离公式得0 + 0 - C - Di + DC 2vA 2 + B 2 + C 2D2 一 D、VA2 +B2 + C 2(V)用点法式方程建立与已知平面有关的未知平面方程.32.求满足下列条件的平面方程：(
12、1) (7，)平行y 轴，且过点P(1,-5,1)和Q(3,2,-1).解：设所求平面为Ax + Cz + D = 0，将P,Q代入得A = 一? ,C = 一?故所求平面为X + z - 2 = 0(2) (7)过点(1,2,3)且平行于平面2x + y + 2z + 5 = 0.解：2(x -1) + (y - 2) + 2(z - 3) = 0 ,即 2 x + y + 2 z -10 = 0(3) (7,)过点M 1 (1,1,1)和M2(0,1,-1)且垂直于平面x + y + z = 0.解：所求平面为Ax + By + Cz + D = 0,于是有A + B + C = 0A +
13、 B + C + D = 0 , B - C + D = 0解得 D = 0 B = C A = -2B , - 2Bx + By + Bz = 0三、直线方程x -气=y - y1 = z - z1x - x y - y z - z212121(i)两点式直线方程的计算。33. (4,)过点M (x , y , z ,M (x , y ,z )的直线方程为 1111)2222(ii) 一般式方程转化为对称式方程。| x + y + z +1 = 0,34. (7，)用对称式方程及参数式方程表示直线 1j k解：S =1112-13=(4,1,-3),x故直线的对称式方程为彳=12x - y + 3z + 4 = 0.取 x = 0, y = 1 得 z = -545 z + y -1 _4-1-3x = 4t直线参数式方程为 y = t +1c 5 z = 3t + -4(iii)两直平行或垂直的判定。35.判别下列各直线之间的位置关系:y +1 z +1 T(1) (4)% : -x +1 = = -与 L2x = 1 + 2t,I
