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1、第讲 直接证明与间接证明1直接证明直接证明中最基本的两种证明措施是综合法和分析法（)综合法：一般地，运用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,通过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立,这种证明措施叫做综合法.综合法又称为:由因导果法（顺推证法)（2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐渐谋求使它成立的充足条件，直至最后，把要证明的结论归结为鉴定一种明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明措施叫做分析法.分析法又称为：执果索因法（逆推证法)2.间接证明反证法：假设原命题不成立,通过对的的推理,最后得出矛盾,因此阐明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明措施叫做
2、反证法. 判断正误(对的的打“”,错误的打“”）（)综合法的思维过程是由因导果，逐渐寻找已知的必要条件.( )()分析法是从要证明的结论出发，逐渐寻找使结论成立的充要条件(）(3)反证法是指将结论和条件同步否认，推出矛盾()(4)用反证法证明时,推出的矛盾不能与假设矛盾（ )(5)常常用分析法寻找解题的思路与措施,用综合法呈现解决问题的过程（ )答案:(1)(2)（3) （4) (5) 下列表述：综合法是由因导果法;综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法其中对的的有（ ).2个 B.3个C4个 D.5个解析:选D.由分析法、综合法、反证法的定义知都对的 (教材习题
3、改编）设m1,n=2，则m与的大小关系是( )mn Bn.m,n0.因此n，故选C.法二：假设mn，即2.则有(1+)2(2)2,即4+2，即2，即2,即34，显然错误,因此mn，故选C. 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一种不不小于60”时,应假设_答案：三角形三个内角都不小于60在不等边三角形中,a为最大边,要想得到边的对角A为钝角的结论,三边a，b，c应满足_.解析：由余弦定理co A=，因此b22a2b2c2.答案:a2b+2 综合法(师生共研) (高考江苏卷)在平行六面体ABCD1B1C1D中，A1AB,AB1B1C1.求证:(1)AB平面1B1C;()平面BB1A平面ABC.
4、【证明】 (1)在平行六面体BCA11D1中,ABAB1由于AB平面1B1C,A1B平面A1BC,因此A平面A1B.(2)在平行六面体ACAB1D1中,四边形B1为平行四边形.又由于AA1AB，因此四边形A1为菱形,因此AB1AB.又由于B1B1,CBC1,因此B1B.又由于A1BCB,A1平面A1B，BC平面1BC，因此A1平面AB.由于AB1平面B11，因此平面BBA1平面A1BC综合法的证题思路(1）综合法是“由因导果”的证明措施，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理措施，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题）出发，通过一系列中间推理,最后导出所规定证结论的真实性.(2）
5、综合法的逻辑根据是三段论式的演绎推理. (一题多解)在AC中，设a，b,分别是内角A，,C所对的边，且直线xcos cs B0与yo B+cos A0平行,求证:AB是直角三角形证明：法一：由两直线平行可知bcos B-acos=0，由正弦定理可知sin BosB-i Aos ，即s 2B-si 2A=0，故=2B或2A+B，即A=B或A+B.若=B,则ab，osA=os ,两直线重叠，不符合题意,故B,即ABC是直角三角形法二：由两直线平行可知bcos Bacs 0，由余弦定理，得=,因此a2(b+c2a)=b(a2cb2),因此（a2b)(a+b2)（a2)，因此(a2-b2）(a2b2c
6、2）=0,因此a=b或a2b2c2若=b，则两直线重叠,不符合题意，故a2+2c2，即ABC是直角三角形. 分析法（师生共研) 已知函数f（)=3x2x,试证：对于任意的x1，2R，均有f.【证明】要证明，即证明3-2,因此只要证明(x1x)-(x1+x2）,即证明3,因此只要证明，由于x1,R时，3x10，3x20，由基本不等式知，显然成立,故原结论成立分析法的证题思路先从结论入手,由此逐渐推出保证此结论成立的充足条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证提示 要注意书写格式的规范性. ABC的三个内角A,，C成等差数列，A,B，C的
7、对边分别为a，求证:.证明：要证=，即证3,也就是证+1,只需证c(c)a(a+b)(ab)（b+c),需证c2a2=ac+2.又ABC三内角,C成等差数列,故B=6,由余弦定理，得22a2-accos 6，即2=c2a2-ac，故c2acb2成立于是原等式成立.反证法(师生共研） 设,b,且+b+.证明:()a+b2;(2)2+a与b+b，b0,得ab=1(1)由基本不等式及ab=1,有b2=,即ab(2)假设a2a2与b22同步成立,则由a2+0，得01；同理,0b1,从而ab1，这与a1矛盾.故a2a2与bb不也许同步成立.反证法证题的一般思路反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法
8、的重要根据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A,即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一种是对的的，不能有第三种状况浮现 设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式;()设q,证明数列a+1不是等比数列.解:(1）设an的前项和为Sn,则=a1q+a1qa1n-1,qSn=aq+aq2a1q-1+1qn，两式相减得(1-q）Sn=a1-a1n=a1(n)，当q1时,n=，当q1时，S=1+a1+a1=na,因此n=（2）假设数列an1是等比数列，则（1+)(3+1）(a21)2，即aa3+a1+31a1，由于an是等比数列,公比为q,因此a1a3=a，aaq,
9、3a1q2，因此a1(1+q2)=2a1即q221=0,(-)2=0,q=1,这与已知q1矛盾，因此假设不成立,故数列an+1不是等比数列. 逻辑推理不等式证明中的核心素养设x1,y1，证明：xy+.【证明】由于x,y1,要证xyy,只要证xy（x+y)+x(xy),只要证(x)21+（x+)-xy(x+),只要证(xy-1)（xy1-),只要证(xy1)(-1)(y1)0.由于x1，y1，上式显然成立,因此原命题成立由不等式的证明掌握逻辑推理的基本形式,表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，对式子进行等价变形,进而通过证明不等式,体验逻辑推理的核心素养. 设a，b，c均为正数,且a+b1
10、，证明:b+c+ca证明：由a2+b22b,b2c2c,c2+a22ca得2c2abbc.由题设得（ab+c)21，即a2+2+c2+2ab+2bca=1,因此3(bb+ca）1，即ab+bcc.当且仅当“a=b=c”时等号成立. 基本题组练（衡阳示范高中联考(二)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a,c中恰有一种是偶数”的对的假设为( )A.自然数a,b，c中至少有两个偶数B.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a，b，c都是奇数D自然数a,b,都是偶数解析:选B.“自然数,，c中恰有一种是偶数”阐明有且只有一种是偶数,其否认是“自然数a，b,c均为奇数或自然数a，b,c
11、中至少有两个偶数”2分析法又称执果索因法，已知,用分析法证明4C.x20 D.x21解析:选C由于x0，因此要证1+,只需证()2,即证0，显然x20成立，故原不等式成立.3设a-，-,c=，则a、的大小顺序是（ )Aac bcC.ab .cb解析：选A.由于a-=,b，c-=，且+，因此abc.4.在BC中，sinn Coos ,则ABC一定是（ )A.锐角三角形 .直角三角形C.钝角三角形 不拟定解析:选C由in Ai os Acs C得cos Aos in sin C0，即cs(+C）0,因此+C是锐角，从而,故BC必是钝角三角形.用反证法证明命题“若x(+)xab,则xa且xb”时,应
12、假设为_.解析：“xa且x”的否认是“xa或x=”，因此应假设为xa或xb.答案：x=a或b.(福州模拟)如果+b+b,则a，应满足的条件是_解析：aa+b，即()2()0，需满足a0,0且ab.答案：a0，b且ab7.已知ab0,求证:2a3-b32ab22b.证明:2a3-b3（ab2-a2b)2a（a2-b2)+b(ab2)=(a2b2)(2b）(-b)(ab)（2a+b).由于ab0,因此ab，a+b0，2a0,从而(a)（a+)(2a),即a3-b3ab2-8.已知四棱锥AD中,底面是边长为的正方形，又SBSD=,SA1.()求证：SA平面CD；(）在棱C上与否存在异于S，C的点F，使得BF平面AD?若存在，拟定F点的位置;若不存在，请阐明理由.解:（1)证明：由已知得SA2AD2=SD2,因此SAAD.同理SA.又ABADA,平面ABC,AD
