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1、线性代数综合练习题（九）一、选择题1. 设为阶矩阵，则下列矩阵中不是对称矩阵的是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 2. 已知向量组线性相关，则（ ）。 （A）可由线性表示 （B）不可由线性表示 （C）若，则可由线性表示 （D）若线性无关，则可由线性表示3. 设，则当（ ）时，。 （A） 1 （B） （C） 2 （D） 4. 齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）。 （A）的列向量组线性无关 （B）的列向量组线性相关 （C）的行向量组线性无关 （D）的行向量组线性相关5. 设阶矩阵的个特征值全为零，则（ ）。 （A） （B）只有一个线性无关的特征向量 （C）不能与对角矩阵相似 （D）当
2、与对角矩阵相似时，二、填空题1. 设四阶行列式的第一行元素分别为第一行元素的余子式分别为，则 。2. 设，则 。3. 设，则 。4. 设是由向量组，所生成的向量空间，则的维数为 。5. 设三阶矩阵的特征值分别为1，2，3，则的特征值为 ， 。6. 实二次型的矩阵为 。三、计算题（1. 设三阶矩阵、满足，且，求。2. 当为何值时，线性方程组（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求通解。3. 设为三阶矩阵，三维列向量组线性无关，且，（1）求，使得；（2）求。4. 设三阶矩阵的特征值分别为，对应的特征向量分别为，求。四、证明题1. 设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，证明的秩。2. 设维向量组线
3、性无关， 证明：线性无关的充要条件是为奇数。线性代数综合练习题（九）参考答案一、选择题1. B 2. D 3. A 4. B 5. D二、填空题（每空格4分，共28分）1. 100 ， 2. ， 3. 2 ， 4. 3 ，5. ， 48 ， 6. 三、计算题1. 解：由得， 所以 从而 ，所以 故 。 2. 解：系数行列式， （1）当，即且时，方程组有惟一解； （2）当时， 可见，方程组无解。（3）当时，可见，方程组有无穷多解，并且由的行最简形得，通解为，。 3. 解：（1） 所以 ； （2）有（1）知 因为，线性无关，所以，因此。 4. 解：记，则有 所以 又， 因此，。 四、证明题1. 证
4、：因为为阶可逆矩阵，所以， 又因为 ，所以，因而， 所以为阶可逆矩阵，故。 2. 证：由题设得， 记，则， 当且仅当为奇数时，又线性无关，所以，于是，有当且仅当为奇数时，即线性无关。线性代数综合练习题（九）一、选择题1. 设为阶矩阵，则下列矩阵中不是对称矩阵的是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 2. 已知向量组线性相关，则（ ）。 （A）可由线性表示 （B）不可由线性表示 （C）若，则可由线性表示 （D）若线性无关，则可由线性表示3. 设，则当（ ）时，。 （A） 1 （B） （C） 2 （D） 4. 齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）。 （A）的列向量组线性无关 （B）的列向量
5、组线性相关 （C）的行向量组线性无关 （D）的行向量组线性相关5. 设阶矩阵的个特征值全为零，则（ ）。 （A） （B）只有一个线性无关的特征向量 （C）不能与对角矩阵相似 （D）当与对角矩阵相似时，二、填空题1. 设四阶行列式的第一行元素分别为第一行元素的余子式分别为，则 。2. 设，则 。3. 设，则 。4. 设是由向量组，所生成的向量空间，则的维数为 。5. 设三阶矩阵的特征值分别为1，2，3，则的特征值为 ， 。6. 实二次型的矩阵为 。三、计算题（1. 设三阶矩阵、满足，且，求。2. 当为何值时，线性方程组（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求通解。3. 设为三阶矩阵，三维列向量组线性无关，且，（1）求，使得；（2）求。4. 设三阶矩阵的特征值分别为，对应的特征向量分别为，求。四、证明题1. 设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，证明的秩。2. 设维向量组线性无关， 证明：线性无关的充要条件是为奇数。
