《数形结合论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数形结合论文（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数形结合思想在中学数学解题中应用摘要：数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。本文就数形结合思想在数学问题解析中的应用加以整理、总结，并给出部分例题，以便得到更好的推广。关键词：数形结合 代数问题 几何问题 相互转化整理为word格式For combining the application in mathematics（YANG zhongxiang）Abstract : Several combining in mathematics teaching is widely used in combination, a new mat
2、hematical thought to write with. Several combining ideas in mathematics got full attention. Based on several combining analytical mathematical thoughts in the application are summarized, and gives some examples, in order to get better.Key words：Combining the number Algebra problem Geometry problems
3、Mutual transformation整理为word格式前言 数形结合思想在实际的应用中显得十分重要和广泛，数形结合思想几乎贯穿了整个解析几何，可以说数形结合思想是解析几何的精髓所在。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结
4、合百般好，隔裂分家万事休。”关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。美国著名数学教育家波利亚说过:“掌握数学就意味着要善于解题。”只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。中、高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。而数形结合思想又显得格外重要和实用。但在应用中也应该注意其应用的适用性、科学性、合理性等特性。整理为word格式一、数形结合思想理论（一）、数形结合思想的定义：数形结合是数学中重要的
5、思想方法之一，是通过数和形两者之间的关系来解决数学问题的方法思想。（二）数形结合思想的研究对象：数形结合思想的主要研究对象是数与几何图形或几何图形与数的关系，即对于所要研究的代数问题可以通过研究其所表示的曲线、图象等几何图形来得以解决，反之对于几何图形问题也可以转化为其所对应的代数问题加以解决。（三）数形结合思想的本质 ：数形结合思想的本质是几何图形的性质反映了数量关系；数量关系决定了几何图形的性质。“数”不仅具有精确性，它还具有联系性（即在某一特定范围内它是联系不间断的），唯一性，逻辑性等，他们之间可以经过多种变换。而几何图形往往具有直观性，我们可以较直观的从图象信息中分析得到信息。（四）数
6、形结合思想的研究方法：数形结合思想的方法应用主要可以分为两种情况：整理为word格式（1）、借助于“数”的精确性来阐明“形”的属性；（2）、借助于“形”的直观性来阐明“数”的关系。（五）数形结合思想的研究思路：数形结合思想的基本思路是：根据“数”的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决“数”的问题；或将图形信息部分或全部转换成代数信息，进而削弱或清除“形”的推理部分，使要解决的“形”的问题转换为数量关系的讨论。通过以上转换使问题得以解决或简单化。整理为word格式二、数形结合思想的实际应用（一）在一般方程中的应用：方程f(x) g(x) = 0的解情况，可化为f(x
7、)g(x) 的解情况，也可看作函数y = f(x) 与y = g(x) 图像的交点的横坐标的情况，所以只要我们准确地在数轴或坐标轴中画出这两个函数的图像，再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点，及交点大致的位置或坐标，还有一些其它的重要信息，这样我们就可以根据这些信息来解题，我们也可以用数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也作可以作为一种验证方法用来检查自己到底有没有做错。例题1方程lnx=cosx解的个数为 。分析：画出函数y=lnx与y=cosx的图像（如图1）。注意观察两个图像的相对位置关系可以得出结论，XYY=lnxY=cosx图2-1整理为word格式（答案：1个。）利用
8、代数方法求解：lnx=cosx已知lnx的定义域为0cosx成立的x的取值范围为 解析：如图2-5所示；整理为word格式图2-5YX0注意，在单位圆上，使sinx，cosx的角x的终边与一、三象限角平分线重合，可知终边在该直线上方的角X有sinxcosx（如左图所示），由此得出满足题意的x取值范围为X（/4,5/4），即为图中阴影部分所表示区域。代数法：把sinxcosx转化为求sinx-cosx0，即2 sin（x-/4）0,求在（0。/2）上的解，解得x（/4,5/4）与图象解出一致。（三）不等式（组）、函数用象表示：在函数中，函数的解析式和图像的实质是相同的。同样，不等式也可以用图象表
9、示，函数图象是用曲线的，那么，不等式就用所对应的区域来表示，该区域就在该不等式化为方程后所表示的曲线的领域内。例题4：设函数f(x),g(x)分别是定义域在R上的奇函数和偶函数，当x0时，（）（）（）（），且（），则不等式（）（）的解集是解析：设（）（）（），整理为word格式（）（）（）（）（）（），故，（）为奇函数，又时，（）（）（）（）（），所以当时（）为增函数，又奇函数在对称区间上的单调性相同，时，（）也是增函数。（）（）（），（）（）如图为一个符合题意的图象，观察后可得：图（）（）（）的解集为：整理为word格式（，）（，）。由上图可以看出，该不等式的解集图象为该函数左下方与x轴负方
10、向上小于-3相交部分和该函数右下方与x轴正方向上小于3相交部分，所有处在该区域内的x的值都满足题意，而曲线上的点则表示该函数的临界点。例题5：如下图2-8所示，阴影部分的点满足不等式组x+y=52x+y=0, y=0 值的坐标是 图2-8解析：这是线性规划问题，运用数形结合的思想方法，如上图2-8所示，做L：6x+8y=0的直线，然后向右（上）平移，使得L与阴影部分相交又到原点距离最大的交点，得（0,5）。整理为word格式本题主要利用不等式组来确定x，y的取值范围（图中阴影部分），并利用该范围内的点做为定义域求满足目标函数的点，这是数形结合的应用中较为常见的“数”“形”转换的方法。它避免了纯
11、代数运算的繁杂性，较为充分的体现出了“形”的直观性。由上两个例题可以看出，利用数形结合方法来解不等式（组），不仅可以避免许多繁杂的代数运算，简化解题的程序。而且可以使做题的过程更加直观。（四）曲线方程与曲线方程图象：曲线方程是中学数学中的重要组成部分，它包括圆的曲线方程、椭圆的曲线方程、双曲线方程，抛物线方程等曲线方程，数形结思想合在这一方面体现的更为重要，整个曲线方程几乎都是围绕数形结合思想来分析、解决问题。例题5：如果实数x，y满足等式（x-2）2+y2=3，求y/x的最大值 解析：本题作为代数问题的形式，y/x的最大值不易直接求出，若采用数形结合思想，利用y/x的几何意义则较为简便，如图2-10所示，在直角坐标系中，（x-2）2+y2=3表示以（2,0）为圆
