数值分析原理习题答案

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1、数值分析原理习题答案【篇一：数值分析习题】学号 班级 习题重要考察点：有效数字的计算、计算措施的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为0.5?10,那么近似数0003400有几位有效数字？（有效数字的计算) ?3.1419？具有4位有效数字的近似值是多少？(有效数字的计算） 3已知?1.03,b?0.97是通过四舍五入后得到的近似值,问a?b,a？有几位有效数字?(有效数字的计算）4 设x?0,x的相对误差为?,求lnx的误差和相对误差？(误差的计算)*5测得某圆柱体高度h的值为?20c,底面半径r的值为?cm，已知 ？ |？*|?.2cm，|r?r*|？0.1m,求圆柱体体积v？?r

2、的绝对误差限与相对误差 限。(误差限的计算) 6 设的相对误差为a%,求y?xn的相对误差。（函数误差的计算）计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r时容许的相对误差限为多大?（函数误差的计算)1 8 设in?1 xx?ex，求证: 0(1）in?1?n?1(?0,1,2？)(2)运用(1）中的公式正向递推计算时误差逐渐增大；反向递推计算时误差逐渐减小。(计 算措施的比较选择）第二章 插值法 姓名 学号 班级习题重要考察点:拉格朗日插值法的构造,均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。 已知f（?1)?2，f(1)？1，f（2)?1,求f（)的拉氏插值多项

3、式。（拉格朗日插值) 2 已知y？ ，x0?4,x1?,用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 3 若x(j？0,1,)为互异节点,且有 lj（x）? 试证明 （x?x)（?x1)？(x?j?)(x?j？1)？(x?xn）(xj?0)(xj?x)?（x?j?)(x?xj?1)?（xj?xn） ？l j？ kj (拉格朗日插值基函数的性质)（x)?xk（?,1,.n)。，sin034?0.3338,n0.36?0.524 已知sin0.2?0.3156,用抛物线插值计 算sin0336的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数csx在x0?0,x1?多项式， 并近似计算cos

4、日二次插值) 6 已知函数值f(0）?6，（1）?10,f(3)?46，f(4)?8,(6）?212，求函数的四阶均差 ? ，x? ？ 三个节点处的值,写出二次拉格朗日插值 ?6 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗0,1,3,4,6和二阶均差f4，1，3。（均差的计算)7 设f（x)？(x?0)(x?1）?(?xn)求x0，?xp之值，其中p?n?，而节点 (?0,1,？1）互异。(均差的计算) 8 如下函数值表建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造)9求一种次数不不小于等于三次多项式p(x)，满足如下插值条件:（1)?2,（2)？4,p？(2）？3，p(

5、3)?1。（插值多项式的构造)0 构造一种三次多项式h(),使它满足条件(0）？1，h(1)?0，h(2)？1,？(1)?1(埃尔米特插值）。 1 设f(）?x,x0?1/4,x1？1,x2?9/4。(1)试求f（x)在?1/,94?上的三次埃尔米特插值多项式h(x)，使得h(xj)?f（j）,j?0,2，?(x)?f？(x),h（x)以升幂形式给出。(2）写出余项r(x)?f(x)?(x)的体现式。(埃尔米特插值及其他项的计算）。 若f(x）?2，b,f（a)?（b)?0,试证明： 32 max|f(x)|? a?x?b ?b?a?2max|f?(x)|(插值余项的应用) ?x?b8 13

6、设f(？2）?1,f(0）?1,f(2）?,求p（）使p（i）?f(x)（?0,1，）;又设 |f?（x)|?m ，则估计余项r(x）？(x)?p(x）的大小。（插值误差的估计）姓名 学号 班级 习题重要考察点:最小二乘法，最佳平方逼近,正交多项式的构造。 1 设f(x)?sn?x,求（)于0,1上的线性最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近) 2令f(x)?x,？x?1,且设p(x)?a0?a1,求0,a1使得p(x）为()于?，1上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近)3证明:切比雪夫多项式序列 tk(x)?s(karcosx) 在区间?？1，1？上带权？（x）？ 1?x 正交。（正交多项式的

7、证明) ?x1?x2? 求矛盾方程组:?1?2x?4的最小二乘解。(最小二乘法) ?x?x?2 2?1 5已知一组实验数据试用直线拟合这组数据. （计算过程保存位小数)。(最小二乘线性逼近)6用最小二乘原理求一种形如y?bx2的经验公式，使与下列数据相拟合。(最小二乘二次逼近)姓名 学号 班级 习题重要考察点:代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。 1给定求积公式 ？?hf(x)dx?f(?h)？bf(0)？cf()试拟定a,c使它的代数精度尽量 高。(代数精度的应用和计算) 求积公式 ？ 1 f（)dx?a0f（)?1f(1）?b0f?(0)

8、,试拟定系数a0,a1及0，使该求积 公式具有尽量高的代数精确度,并给出代数精确度的次数。(代数精度的应用和计算) 3数值积分公式？ 30 3 (x)dx?f(1)?()，与否为插值型求积公式，为什么？又该公式 2 b 的代数精确度为多少？（插值型求积公式特性） 4如果f？?()？0,证明用梯形公式计算积分几何意义。(梯形求积)5用n?4的复化梯形公式计算积分? af(x）dx所得到的成果比精确值大,并阐明其 ? 2 1 1 dx，并估计误差。（复化梯形求积) x6设（?1)?,f（?05)?4,（0）?6,f(5)?9,()?2,则用复化辛甫生公式计算 ? ?1f(x)dx，若有常数m使 |

9、f()?m，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。(复 化辛甫生公式) 7已知高斯求积公式 ？1?（x)dx?f(0.577)？f(?0.57） 将区间0,二等分，用复 1 化高斯求积法求定积分 ? dx的近似值。(高斯公式） 试拟定常数a，b，c和a,使得数值积分公式 ? 2?2f(x）?a(?a）?b（0)?cf(a)有尽 也许高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少?它与否为高斯型的?(代数精度的应用和计算,高斯点的特性）9设?n(x)？是0,1区间上带权？()?x的最高次幂项系数为1的正交多项式系 (1）求p2(x)。 (2)构造如下的高斯型求积公式 ？ 1 xf(x)dx?

10、a0f(x0)?af(x1)。(高斯求积)【篇二:数值分析简朴习题】章: 基本概念 第二章: gauss消去法,lu分解法 第三章:题型：具体题+证明,误差分析 三个重要迭代法，条件误差估计,范数的小证明 第四章: 掌握三种插值措施:拉格朗日，牛顿,厄尔米特,误差简朴证明，构造复合函数 第五章: 最小二乘法计算 第六章:梯形公式,辛普森（抛物线）公式,高斯公式三个重要公式，误差分析。高斯求积公式的构造 第七章: 几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。 第九章: 基本概念(收敛阶,收敛条件，收敛区域等)，简朴欧拉法。第一章 误差 科学计算中的误差来源有个，分别是_,_,_,_。 2. 用ayor展

11、开近似计算函数f(x）?f（x)?f(）(x?0)，这里产生是什么误差？ . .799作3的近似值,是_位有效数字，65.80是舍入得到的近似值,有_几4 位有效数字，相对误差限为_.0.0281是四舍五入得到的近似值,有_位有效数字 4 变化下列体现式,使计算成果比较精确:(1） （) 11？x?,1?2x1?x|？1(2) |x? ?ox,xx?0,|?1. （4） sin？?in？,? 5.采用下列各式计算1)时，哪个计算效果最佳?并阐明理由。 (1）（)(3)（9?(3？6已知近似数x*有4位有效数字,求其相对误差限。 上机实验题: xk x、运用aylo 展开公式计算 e？?,编一段

12、小程序，上机用单精度计算的函数 k?k!x?值. 分别取 x=1,5，0,20，-,5，-10,-1,20,观测所得成果与否合理，如不合理请分析因素并给出解决措施 2、已知定积分i? n?？110ndx,n？0,?,20,有如下的递推关系x? 0?1x(x?6）?6xn？11x?dx?n?1 0x？x?6n?6 可建立两种等价的计算公式 (1）in？1?6i？1,取i?0154;1?nin）,取2?0.(2) in?1?n6n来计算i1,i2,i3，i4,？,i9，编程比较哪种计算的数值成果好，并给出理论分析。 第二章 插值法 . 已知f(0)?2,(1)?1,那么差商f1，0?_.2. n阶

13、差商与导数的关系是fx0,x,？,xn?_ 3由导数和差商的关系知，fxi,xi=_。 4.已知函数（)在x?3,4的值分别是，6，试构造grane插值多项式。 5取节点？,x1？1,x2?2,相应的函数值和导数值分别为f(0)？1,(x1）？2,f(x1)?2，试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一种条件改为f(x)？2,插值多项式如何计算？)6已知f(0)?1,f()？2，f（1)?3,(2)?9,试建立不超过3次的插值多项式,并写出插值余项. 7. 设f(x)?4a,b，求三次多项式p3()，使之满足插值条件 ？p(xi)?f(xi),?p(1)?f(x1)?0,1,2 2.设p()是过x0,x1的一次插值多项式，f（x)?a,b，其中a，b是涉及0，的任一区 间。试证明:对任一给定的x?,b，在（a,）上总存在一点？，使得r()?f(x）?p（x)?f?(?）(?x0)(x?x)1。 2！ n.证明有关互异节点xii?的lagrang插值基函数i（)满足恒等式? l0(x)？l()?？?ln（)? 上机习题:1. 绘