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1、欢迎阅读导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率(1)概念：函数J=/W中，如果自变量I在场处有增量卜,那么函数值y也相应的有增量4空y=f(xo+Ax)-f(x0),其比值叫做函数了二/从“。到。+x的平均变化率，即型=/(/+及)-/(%)Ax加o：若仁可，比二厢+收,则平均变化率可表示为k3a,称为函数/从可到的平均变化率。一、/汪忠：事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当Ax取值越小，越能准确体现函数的变化情况。Ax是自变量工在而处的改变量，AxhO；而切是函数值的改变量，可以是0。函数的平均
2、变化率是0,并不一定说明函数/(I)没有变化，应取At更小考虑。II(2)平均变化率的几何意义一(必)-他)函数二的平均变化率&的几何意义是表示连接函数了二/)图像上两点割线的斜率。如图所示，函数/的平均变化率k四一五的几何意义是：直线AB的斜率。七二-寸g）_4y事实上，船勺一勺为一而工。作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。I/_.知识点二：导数的概念：1.导数的定义：对函数了二，在点1二处给自变量x以增量A1,函数y相应有增量包二须十偏）。若极限蜡1。曲一ST。怎存在，则此极限称为,在点工。处的导数，记作f（M）或八M,此时也称丁在点工。处可导。心/（而+-/广色）_
3、1联了-。）/=am=hmJ-即：,板心T。加（或TMI。）i.：.-|I3I一、/汪忠：,I一二一增量Ax可以是正数，也可以是负数；I.-III导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。2 .导函数：如果函数7二/在开区间（口黝内的每点处都有导数，此时对于每一个工以为，都对应着一个确定的导数/,从而构成了一个新的函数/,称这个函数/为函数J=/在开区间内的导函数，简称导数。注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，了（鼎）是常数，是函数,在工二。处的函数值，反映函数，国在】二工。附近的变化情况。3 .导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点P（x。，yo）及其附近一点Q（
4、xo+Ax,yo+Ay）,经过点P、Q作曲线的割线PQA则有“=切髯=.其倾斜角为A工当点Q（xo+4x,yo+y）沿曲线无限接近于点P（xo,yo）,即Ax-O时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。若切线的倾斜角为a,则当x-O时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。（2）导数的几何意义：函数）二，在点xo的导数fa）是曲线y=上点（瓦J（M）处的切线的斜率。任思：若曲线=）在点P（4/（M）处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直。/&切线与X轴正向夹角为锐角；切线与工轴正向夹角为钝角；/1）二,切线与1轴平行。（3）曲线的切线方程如果丁二/在点】。可导，则曲线了二/在点
5、（瓦S）处的切线方程为：广/品）=/（丽）（L荷）。4 .瞬时速度:物体运动的速度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。如果物体的运动规律满足s=s（t）（位移公式），那么物体在时刻t的瞬时速度V,就是物体t到t+At这段时间内，当t一0时平均速度的极限，即二/。=而丝=Ims(M皿时MMMtO&如果把函数s=s0看作是物体的位移公式），导数S瑞）表示运动物体在时刻包的瞬时速度。规律方法指导1 .如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：作差：求出A尸）一饱）和1=演7】）一/（一作商：
6、对所求得的差作商，即k。一、/汪忠：咐_，-_/（a+故）-/（1）Ax法,式子中h、心的值可正、可负，但k的值不能为零，切的值可以为零。若函数/为常数函数时，皿二。（2）在式子Ax电-网中，Ax与卜是相对应的“增量”，即在A二为”再时,4y=/研网）。II+以）-丁国）（3）在式子&A工中，当可取定值，Ax取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当Ax取定值，1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样。2 .如何求函数在一点处的导数（1）利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”。计算函数的增量：加=八%+山）八瓦）；/（可+以）-/（）求平均变化率：ixA工；/也）二lim如二lim
7、加+加）寸（/）取极限得导数：ak行检。（2）利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。3 .导数的几何意义设函数二在点看的导数是八%）,则f（访）表示曲线六/W,在点（。/（工。）处的切线的斜率。设s=*）是位移关于时间的函数，则J表示物体在二时刻的瞬时速度；二设V=是速度关于时间的函数，则/册）表示物体在二时刻的加速度；4 .利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤求出产一。）在瓦处的导数一仇）；利用直线方程的点斜式得切线方程为y一丫广f（%）（1一瓦）o类型一：求函数的平均变化率iJFII-I/（rI.01、求丁=2/+1在看到m+Ax之间的平均变化率，并求=15时平均变化率的值.II
8、2_他+以）-（%）思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式&XA1进行操作.举一反三：【变式1】求函数y=5x2+6在区间2,2+A门内的平均变化率。【变式2】已知函数/二工分别计算了在下列区间上的平均变化率:(1) 1,3;(2) 1,2;(3) 1,1.1;(4) 1,1.001.12s二-m【变式3】自由落体运动的运动方程为2，计算t从3s到3.1s,3.01s,3.001s各段内的平均速度(位移s的单位为mj)。【变式4】过曲线J=力=上两点现)和Q(l+Mg)作曲线的割线，求出当Ax二0时割线的斜率.类型二：利用定义求导数ij，I!I.“2、用导数的定义，求函数也在x=1处的导数
9、。1广、飞I;IIII举一反三：y=-y/x【变式1】已知函数x(1)求函数在x=4处的导数.1?y=尸(4,一二)(2)求曲线X上一点4处的切线方程。【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：(1)，(2)/f(3)，=/；,(4)工。O3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程i，I!II飞】-二二.一举一反三：II7.飞1,1【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：(1)平行于直线y=4x5；(2)垂直于直线2x6y+5=0
10、;(3)与x轴成135的倾斜角。知识点三：常见基本函数的导数公式(1)j(C为常数)，*x)=0(2) /(1)二(n为有理数)，/R,产1(3) 二$工，/二C(4)，()=ssx,/=州)二六/=/二，/二1InnI/_.、1/3二-1,一工-.(8)/=10gEx/W=Se知识点四：函数四则运算求导法则设了，g均可导(1)和差的导数：L/士g六尸士父(2)积的导数：ma备加寸血+/加.1人力_/)g(X)r/S)gQ)(3)商的导数：g。)匡(SMH)1i/.-1知识点五：复合函数的求导法则K引乂或网寸染)即复合函数)二J吠刈对自变量工的导数等于已知函数对中间变量二加工)的导数了工，乘以
11、中间变量“对自变量的导数才。注意：选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。规律方法指导1.求复合函数的导数的一般步骤适当选定中间变量，正确分解复合关系；分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。整个过程可简记为分解一一求导一一回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。类型一：利用公式及运算法则求导数1、求下列函数的导数：(3) y=1劭/一1咤”；(4) y=2x33x2+5x+4举一反三:【变式】求下列函数的导数:（1）厂听（2）-2
12、虹(1-28,-)24(3)y=6x34x2+9x6C2、求下列各函数的导函数（1）加年+1侬司；2,(2)y=xsinx;(3)y=/T；(4)y=工+sin工举一反三：【变式11函数了二口+1)(x1)在1=1处的-A.1B.2C.3D.4【变式2】下列函数的导数2也AV(1)+1)(21+3彳-1)；【变式3】求下取函数的导数.J=!(?+-+4)3+1)(1)，工；(2)类型四：复合函数的求导1二一3、求卜列函数导数.11/1(1)；/=16+2).产网；(4)7二。$(2计1).举一反三：导数等于（）1/_.31+五-1iJ1.3，了1,i1*/+sin/工；（3）工N+CQ33【变
13、式11求下列函数的导数：(1)=(1+2?)8.产不+乐.(3)y=ln(x+M?)；(4)/(1)二晨，(匚。工+彻X)类型五：求曲线的切线方程C4、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.举一反三：丁二一(大2)【变式11求曲线，在点2处的切线的斜率，并写出切线方程.【变式2】已知产(-11)|,。(2,4)是曲线工上的两点，则与直线尸。平行的曲线了二工的切线方程是.,J-一；一?)广、;飞1,1IIII【变式3】已知曲线;(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？【变式4】如果曲线J=/+x-10的某一切线与直线二41+3平行，求切点坐标与切线方程.5、已知直线,I为曲线y=-2在点（1,0）处的切线，乙为该曲线的另一条切线,且；L_.（1）求直线的方程;（2）求由直线,1、,2和1轴所围成的三角形的面积.I/_.举一反三：【变式u曲线丁二夕在点（1,1）处的切线与X轴、直线x=2所围成的三角形的面积为【变式2】曲线在（0,1）处的切线与j的距离为后，求金的方程.
