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1、正整数方幂方阵的循序逐增规律与费马定理【摘 要】本文以曲尺形方阵表达正整数方幂，发现 方阵是依照前后 “两个正整数同次幂之差” 表为 “ nk-( n-1 ) k”的次序而扩增的规律，求证到正整数方幕方阵的循序逐 增定理。运用方阵等式证明到在正整数次幂 2 的“ xn+yn=zn ” 方阵等式中，不存在正整数的“ xn=zn- (z-1) n”的这一必 要条件，所以，费马定理成立。【关键词】正整数；方幂；方阵；费马定理；必要条件 笔者研究结果表明，任何一个正整数方幂(n1 )均可表为数学方阵。正整数方幂方阵的各种数的循序逐增现象， 反映了正整数方幂方阵的循序逐增规律性，而费马定理与此 规律有着
2、密切联系。1 正整数 2 次幂方阵的循序逐增规律 笔者认为，要想弄清楚正整数方幂方阵的循序逐增规律 性，应从对正整数 2 次幂方阵的研究入手，弄清楚正整数方 幂方阵与正整数方幂的三角矩阵之间的关系，注重对正整数 方幂方阵的各种数的循序逐增现象的研究，进而发现矩阵的 各种数的循序逐增规律。1.1 任何一个正整数平方均可表为由 “ 1”组成的方阵或 三角矩阵笔者在地图与数学的组合、 排列及三角矩阵 一文(见数学学习与研究 2011 年第 19 期）中，经证明得出结论： 任何一个正整数（n1 ）的2次幕均可表为一个由“ 1”组成 的方阵，而且这个方阵既可表为一个由“1”组成的三角矩阵，也可表为两个由
3、“ 1 ”组成的三角矩阵。从“n2的方阵和三角矩阵图”看出，正整数2次幕的方阵，其方阵元素“ 1”是曲尺形排列，虽与三角矩阵的表达 方式不同，但两者表达的意思（或叫内容）相同。可见，正 整数方幂方阵与正整数方幂三角矩阵是等同关系。据此，为 着论证的方便，笔者在下文论证正整数方幂方阵时，则以三 角矩阵的表达方式来替代，并用之于证明方阵的各种数的循 序逐增的规律。1.2 方阵（三角矩阵）的各种数的概念图 2 三角矩阵（方阵）的各种数的概念解释图 本文所说的方阵（三角矩阵）的各种数，是指矩阵的边 线数、中线数、同行数列相加之和（见图 2 图解）。所说的 各种数的循序逐增现象，是指这些数及数列差反映出
4、来的规 律有序的东西。从图 2 看出，边线数，是指三角矩阵的左斜边线数和右 斜边线数，左斜边线数即是方阵的第一列数，右斜边线数即 是方阵的第一行数；中线数，是指位于三角矩阵中间的数， 即是方阵的左上角至右下角的斜线数；同行数列相加之和， 是指三角矩阵同一行的数列各数相加后的得数，即是方阵的曲尺形行列数各数相加后的得数1.3 正整数 2 次幂方阵的同行数列相加之和及数列差的 循序逐增规律规律 1 正整数 2 次幂方阵的同行数列相加之和是循序逐 增的两个正整数平方差的依次排列。从图 1 看出，正整数 2 次幂方阵（三角矩阵） ，其同行 数列相加之和是循着奇数“ 1，3，5，7，9，, ”的次序排
5、列。这“ 1，3，5，7，9，, ” ，既是奇数，又是与正整数的 2 次幂有着密切联系的数： 1 是 12-02 之差， 3 是 22-12 之差， 5是32-22之差， 7是42-32 之差， 9是52-42 之差，此后依 次类推。可见，正整数 2 次幂方阵，其同行数列相加之和为 循序逐增的两个正整数的平方差（即“n2-（ n-1） 2”之差）的依次排列，亦是循序逐增的两个正整数的同次方差（即“nk-（n-1）k”之差）的依次排列。这表明正整数方幕方阵是一 个循序逐增的扩展过程。此规律是正整数方幂方阵的核心规 律。规律 2 正整数 2次幂方阵的同行数列相加之和的数列差 是循序逐增的两组“两个
6、正整数平方差”之差。2 正整数方幂方阵的各种数的循序逐增规律 笔者研究结果表明，遵循正整数方幂方阵的循序逐增规 律， 任何一个正整数方幂均可表为其同行数列相加之和为 循序逐增的两个正整数的同次方差的方阵。现以正整数的 3次幂、 4次幂、 5次幂的方阵为例予以证明。例证 1 正整数 3 次幂的方阵（三角矩阵） ，见图 3。例证 2 正整数 4 次幂的方阵（以三角矩阵表达） ，见图 4。例证 3 正整数的 5 次幂的方阵（以三角矩阵表达） ，见 图 5 。2.1 正整数方幂方阵的同行数列相加之和及数列差的循 序逐增规律现依照正整数方幂方阵的循序逐增原理，对正整数的 3 次幂、 4 次幂、 5 次幂
7、的方阵（三角矩阵）的各种数及数列 进行分析。从图3看出，正整数3次幕方阵，k=3，其同行数列相 加之和依次为“ 1， 7， 19， 37， 61， , ” ，是前后两个正整 数的同次方差（即“ n3- （n-1） 3”之差）的依次排列。“n3- （ n-1 ）3”可表为“ nk-（ n-1 ）k”。从图4看出，正整数4次幕方阵，k=4，其同行数列相 加之和依次为“ 1， 15， 65， 175， 369， , ” ，是前后两个正 整数的同次方差（即“n4-（ n-1）4”之差）的依次排列。“n4-（ n-1 ）4”可表为“ nk-（ n-1 ）k”。从图5看出，正整数5次幕方阵，k=5，其同行
8、数列相 加之和依次为“ 1， 31， 211， 781， 2101， ,” ，是前后两个正整数的同次方差(即“n5- (n-1) 5”之差)的依次排列。“ n5-( n-1 )5”可表为“ nk-( n-1 )k”。依照归纳法，得出结论，正整数方幂方阵的同行数列相 加之和为前后两个正整数的同次方差的依次排列。前后两个 正整数的同次方差可表为“ nk-( n-1 )k”。根据正整数方幂方阵的同行数列相加之和的循序逐增 规律，可求得正整数方幂方阵的各行同行数列相加之和累加 得数的循序逐增规律，也即是正整数方幂方阵的循序逐增规 律。见图 6。2.2 正整数方幂方阵的中线数及数列差的循序逐增规律 从图
9、 3 看出，正整数 3 次幂方阵， k=3 ，其中线数数列 依次为“ 1，3，5，7，9，,” ，是前后两个正整数的“ n3-1-(n-1) 3-1 ”之差的依次排列。“n3-1-(n-1) 3-1” 可表为 “nk-1-(n-1)k-1”。从图 4看出，正整数 4次幂方阵， k=4，其中线数数列依次为“ 1，7，19，37，61，,” ，是前后两个正整数的 “n4-1-(n-1 )4-1”之差的依次排列。 “n4-1-(n-1)4-1”可表为“ nk-1-(n-1)k-1”。从图 5 看出，正整数 5 次幂方阵， k=5 ，其中线数数列为“ 1，15，65，175，369，,”前后两个正整数
10、的“n5-1-(n-1 )5-1 ”之差的依次排列.“n5-1-( n-1 )5-1 ” 可表为 “nk-1-(n-1 )k-1 ”。依照归纳法，得出结论，正整数方幂方阵的中线数的循 序逐增规律是前后两个正整数的“ nk-1- （ n-1） k-1 ”之差的 依次排列。根据正整数方幂方阵的中线数的循序逐增规律，可求得 正整数方幂方阵的中线数数列差之定理为：（ n+1）k-1-nk-1-nk-1- （ n-1） k-12.3 正整数方幂方阵的边线数及数列差的循序逐增规律从图 3 看出，正整数 3 次幂数方阵的边线数数列是“ 1， 2，3，4，5，,”（即“ 13-2，23-2，33-2，43-2
11、，53-2,”） 的依次排列。“13-2，23-2，33-2，43-2，53-2,” 可表为“ 1k-2 ， 2k-2，3k-2，4k-2，5k-2, ”。从图 4看出，正整数 4 次幂数方阵的边线数数列是 “12， 22，32，42，52，, ”（即“14-2，24-2，34-2，44-2，54-2, ” ） 的依次排列。 “ 14-2 ， 24-2，34-2， 44-2， 54-2 , ”可表为 “ 1k-2 ， 2k-2 ， 3k-2 ， 4k-2 ， 5k-2 , ” 。从图 5看出，正整数 5 次幂数方阵的边线数数列是 “13， 23，33，43，53，, ”（即“15-2，25-2
12、，35-2，45-2，55-2, ” ） 的依次排列。“15-2，25-2， 35-2， 45-2，55-2, ”可表为 “ 1k-2 ， 2k-2 ， 3k-2 ， 4k-2 ， 5k-2 , ” 。依照归纳法，得出结论，正整数方幂方阵的边线数的循 序逐增规律为“ 1k-2，2k-2，3k-2，4k-2，5k-2, ”的依次排 列。已知正整数方幂方阵的边线数数列为 “1k-2，2k-2，3k-2 ，4k-2 ， 5k-2 , ”的依次排列，那么，可知边线数数列差的循 序逐增规律，即：2k-2-1k-2 ”之差；3k-2-2k-2 ”之差；4k-2-3k-2 ”之差；5k-2-4k-2 ”之差
13、；6k-2-5k-2 ”之差，第一行边线数与第二行边线数之差为第二行边线数与第三行边线数之差为第三行边线数与第四行边线数之差为第四行边线数与第五行边线数之差为第五行边线数与第六行边线数之差为 此后依次类推。2.4 正整数方幂方阵的同行边线数至中线数的数列差的循序逐增规律 根据正整数方幂方阵的中线数的循序逐增规律和边线 数的循序逐增规律，可知：第一行边线数与第二行边线数之差是为第二行边线数 至中线数的数列差，即“ 2k-2-1k-2 ”之差；第二行边线数与第三行边线数之差是为第三行边线数 至中线数的数列差，即“ 3k-2-2k-2 ”；第三行边线数与第四行边线数之差是为第四行边线数 至中线数的数
14、列差，即“ 4k-2-3k-2 ”；第四行边线数与第五行边线数之差是为第五行边线数至中线数的数列差，即“ 5k-2-4k-2 ”。此后依次类推。2.5 正整数方幂方阵的规律模式 根据上文求得的正整数方幂方阵的各种数的循序逐增 规律之定理，可构建组成正整数方幂方阵的规律模式，见图7、图 8。 那么，依照正整数方幂方阵的规律模式可构建出正整数任何次幕（正整数 n1，次幕k1）的方阵。对此，笔者无 需举例赘证。3 正整数的“ xn+yn=zn ”方程式与正整数方幂矩阵 正整数的“ xn+yn=zn ”方程式中的一种数学现象： 在正整数的“ xn+yn=zn ”方程式中，如将 xn、yn、zn 三者的
15、次数由 1 至2、至 3的等式做分析，不难发现其存在 的一种数学现象。事实告诉我们， 当 xn、yn、zn 三者的次数为 1（即 n=1 ） 时，即在“ x+y= z （z 2）”方程式中，任何一个 z （即大于 1 的正整数）均可表为两个正整数相加之和，反之，任何两 个正整数相加之和均可表为另一个正整数。 因此，“ x+y=z（ z 2）”成立。事实还告诉我们，xn、yn、zn 三者的次数为 2 时，即在“x2+y2=z2 （z 2）”方程式中，不可能做到任何一个大于1的正整数平方（即z2）均可表为两个正整数平方相加之和， 比如 62、72、82 不可能表为一个正整数平方加另一个正整 数平方；反之，也不可能做到任何一个正整数平方加一个正 整数平方等于另一个正整数平方（即z2）,比如“ 22+32 ”、“32+52”、“45+52”，其和不可能等于另一个正整数平方。因此，在“ x2+y2=z2 (z2)”方程式中，只是存在部分一 个正整数平方(即z2)可表为两个正整数平方相加之和，部 分一个正整数平方加一个正整数平方等于另一个正整数平 方(即z2)。所以，正整数的“ x2+y2=z2 (z2)”方程式有 成立与不成立之分。事实和费马定理告诉我们，xn、yn、zn 三者的次数为 3时，即在“ x3+y3=z3 (z2)”方程式中，任何一个正整数 三次方(即z3)均不可能表为两个
