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1、第3讲双曲线与抛物线初步满分晋级解析几何4级知识点睛双曲线的定义：平面内与两个定点Fi，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于| F1F2 |且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点两焦点的距离叫做双曲线的焦距，焦距为2c 双曲线上的点与两个定点Fi, F2的距离的差的绝对值等于常数-空教师备案 由上一讲椭圆的定义，自然类比到双曲线的定义.双曲线的定义需要强调的地方： 差的绝对值小于 F1F2 ,否则轨迹为两条射线或不存在. 绝对值.若去掉绝对值，则轨迹只有双曲线的一支.经典精讲【例1】 少到两定点Fi（-3,0） , F2（3 ,0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是（
2、）A 椭圆 B 线段C.双曲线D.两条射线“动点P到定点Fi（1, 0）的距离比它到定点 F2（3 , 0）的距离少1，则点P的轨迹是（）A 双曲线B 双曲线的一支C. 一条射线D 两条射线*已知点Fi 0, - 2 , F2 0,2，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是（）A. PFi| |PF2 =3B. PF|PF2 =4Cjl PFJ-PF =5D . | PFi PF2I =3已知点A、B在一条双曲线的右支上，线段 AB经过该双曲线的右焦点 F2，已知 AB ，且Fi为左焦点，贝U ABh的周长为（）A. 2a 2mB. 4a 2mC. a mD. 2a 4m【解析】DB
3、DB【点评】涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解.【备选】平面内有两个定点 A、B及动点P,设命题甲：|PA|_|PB|是定值；命题乙：点 P的轨迹是 以定点A、B为焦点的双曲线，那么（）.A .甲是乙的充分不必要条件B .甲是乙的必要不充分条件C .甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【解析】B（选讲）已知两圆 G： （x - 4）2 y2 , C2：（X -4）2 y2 =2，动圆M与两圆G , C?都相切，则动圆圆心M的轨迹是（）A .一条直线B .双曲线的一支C .双曲线D .双曲线或一条直线【解析】D如右图，动圆M与两圆Ci ,
4、 C2都相切，有四种情况：动圆M与两圆都相外切，动圆与M与两圆都相内切； 动圆M与圆Ci外切、与圆C2内切.动圆M与圆G内切、与圆C2外切.在情况下，显然，动圆圆心 M的轨迹方程为x=0 , 是一条直线；在的情况下，设动圆 M的半径为r，则| MG |二r 2 ,IMC2I二r - .2，故得 |MCi |-|MC2| = 2.2 ;在的情况下，同理得IMC2 | -|MCi戶2.2 .由得 |MCi | -|MC2 I二 2 2根据双曲线定义，可知此时点M的轨迹是双曲线.由 可知，选择D .考点2 :双曲线的标准方程知识点睛双曲线的标准方程：2 2 务-每=1（a 0,b 0），焦点坐标为
5、斤（弋，0）, F2（c ,0） , c2=a2 b2; a b22 占-笃二论 0,b 0），焦点坐标为 F1（0,-c） , F2（0,c） , c2 =a2 b2; a b丄y教师备案 以过焦点F1, F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系如图.设M（x, y）是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是第#页2c（c .0），那么Fi , F2的坐标分别是（-c , 0） , （c, 0），又设点M与Fi和F2的距离的差的绝对值等于常数2a（0 :：: a :：: c），则点M在双曲线上的充分必要条件是|MFi | IMF21 =2a，即 | MFi | MF
6、2 |二 2a .因为 |MFi|h.(x c)2 y2 , |MF2|=(x_c) ,(x c)2 y2 _ . (x _C)2 y2 _ _2a ,2cx即：2222 二 a ,(x c) y (得:(x c)2 y2 - . (x _c)2 y2 - _2cx .a2cx-y2，所以上述条件转化为坐标表示，就是上面，两式中的右边同取 牛”号或同取 ”号.由+，得：(x c)2y2 二 x a .2 2将式两边平方，再整理得：Hx2 -y2二c2 -a2a因为 c a - 0，所以 c2 -a2 - 0 .设 c2 -a2 =b2, b 0 ,2 2则上式化为笃-占=1(a 0, b 0)
7、.a b因此，方程 是双曲线的方程，通常把这个方程叫做双曲线的标准方程.它所表示的双曲 线，两焦点在x轴上，焦点坐标分别为 （-C , 0） , （c , 0），这里ca2 b2.教师备案 当标准方程中x2项的系数为正时，双曲线的焦点在x轴上；当y2项的系数为正时，双曲线的焦点在y轴上.经典精讲【例2】*已知点Fi-5 , 0, F25,0，动点P到Fi与F2的距离之差的绝对值为8 ,则动点P的轨迹方程为.2 2*已知双曲线x_ 占=1的一个焦点为 -.5 , 0 |, a =2b，则双曲线的方程为 .a bc = .6，经过点（/ ,2），焦点在x轴上的双曲线标准方程为 .2 2与双曲线 話
8、亡 =1有相同焦点，且经过点3 2,2的双曲线标准方程为 .2 2 2 2【点评】与双曲线-1有公共焦点的双曲线系方程为x J =i（y：i6），由此可以16 416 扎 4+九比较方便地解决同焦点的双曲线的问题.提高班学案1【拓1】双曲线5x2 ky2 =5的一个焦点是 2 , 0，那么k =尖子班学案1【拓2】 双曲线2x2 -y2 =k的焦距是6,则k的值是（）6j5A . 24 B. -6C.D. 35【解析】B目标班学案1【拓3】 若双曲线8kx2ky2=8的一个焦点是（0, 3 ），则k=.2 2若方程 厶丄 =1表示双曲线，则k的取值范围为9k 3k【解析】k ：3或k 9【思路
9、】二二 9-k 0，或9_k ：0,二.k 0第#页知识点睛双曲线的几何性质2 2（用标准方程 笃一爲=1（a 0, b 0）来研究）：a b范围：x a或x -a ;如图.对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为 对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心.顶点：双曲线与它的对称轴的两个交双曲线的顶点.B2（0,b），线段BB2叫做双曲线的虚轴.实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的 实轴.如图中, A，A2为顶点线段 A1A2为双 曲线的实轴在 y轴上作点Bd0, - b）渐近线：直线y=_bx ;ae 1 .双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.离心率：e =C叫做双曲线的离心率，a1
10、双曲线与椭圆的区别：双曲线是无限伸展的，椭圆是封闭曲线；双曲线有两个顶点，椭圆有4个顶点；双曲线的虚轴与椭圆的短轴；双曲线离心率e .1，椭圆离心率0：e：1.2 .渐近线的理解：过双曲线上的一点 M（x , y）（考虑对称性，不妨设M是第一象限内的点） 作平行于y轴 的直线，设它与直线 y=bx相交于点P，ab b ：2 b2 2ab贝 V I PM I x x - a x-x-a，a aax+Jx2-a2当x a时，x x2 -a2随着x的增大而增大，从而| PM |越来越接近于0 .这说明，当点M从双曲线C的顶点A2开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点A2时，点M和直线y =-x就
11、越来越接近，而且 - xJx2 -a2，故双曲线始终在直线aa a的下方，且与直线越来越接近，不会相交.其它象限内的情况与此类似.2 23双曲线的开口大小：渐近线的斜率的绝对值e2 -1，因此e越大，b也a aa越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.4画双曲线的草图时，一般都是先画出以2a ,2b为边长的矩形，它的对角线恰为双曲线的渐近线，且双曲线的顶点在此矩形上，故可由此作出双曲线的较好的草图.5 求双曲线的渐近线方程有一个比较容易的办法是直接令右边的常数为零，方程所表示2 2 爲- =1，它的渐近线方程即为 a b的两条直线就是所求的渐近线方程对于双曲线2 2”需0，即直线八中经典精讲考
12、点3 :双曲线的几何性质【铺垫】求出下列双曲线的渐近线方程和离心率：2 2合-詁=0有相同的渐近线和离心率.，虚轴长为12,离心率为5的双曲线的标准方程是 4 由可知,【例3】令设双曲线的焦点在 x轴上，两条渐近线方程为y=丄x，则该双曲线的离心率为（2A 5B -C2*若双曲线经过点6, 3 ,A2 2xy12 xB 81369派*若双曲线的渐近线方程为D 41且渐近线方程是 y =-x，则双曲线的方程是（32 2y_ x 21 C. y =1D 99y = 3x，它的一个焦点是2 2x y1183 10 , 0，则双曲线的方程【解析】是* *实轴长为6，渐近线方程为3y2x的双曲线的方程是
13、2x64B ；C2x2 22=1 或 -冬=1 ；3664362 2厶=1或匕981 或 942x7=1；【点评】已知双曲线的渐近线方程求双曲线方程时，可利用共渐近线的双曲线方程再由其他条件求 尖子班学案260，则双【拓2】 已知以双曲线 C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为曲线的离心率为目标班学案2【拓3】 设厶ABC是等腰三角形， ABC =120，则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为3.3抛物线的定义及其标准方程第#页知识点睛教师备案 抛物线相对来讲，学生应该比较熟悉了，生活中也有很多例子，比如，手电筒、太阳灶和射电望远镜就是利用抛物线的性质做的，但是学生对抛物线的认识仅是二次函数的图象而 已，更进一步的了解将在本板块进行学习.举例，y =x2 -4x 3，让学生计算此二次函数上的点(随机取几个点)到点2 ,-与直V 4丿线x=-5的距离之比，由此引入抛物线的定义.41平面内与一个定点 F和一条定直线I ( F不在I上
