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1、 学校代码：11517 学 号：201011002127 HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING 文献综述 题 目 基于生物控制的率依赖捕食被捕食模型的研究 学生姓名 专业班级 学 号 完成时间 2014 年 3 月 3 日 基于生物控制的率依赖捕食被捕食模型的研究摘 要：在自然界生态系统中，捕食与被捕食（包括种内关系与种间关系）的关系是最为基本的物种关系，并且一直处于动物生态学研究的领域。近年来，这个模型已经成为热门的研究的课题。对该课题的研究通常有三种不同的研究角度，即理论研究，实验种群研究和田间种群研究。本文进行的是理论研究。不仅具有重大的理论研究意义，也具有很大的
2、实用价值，如two-competitor /one-prey，利用种群间的关系竞争者与天敌的相互制约进行以虫治虫（例如，肿腿蜂治星天牛，瓢虫治蚜虫，蜘蛛治飞虫，青蛙治害虫）。探讨时间延滞，机能反应对霍普夫分岔的影响，研究系统的周期解以及稳定性，通过建立微分方程来模拟捕食者-被捕食者的相互关系，并用数值模拟进行结果分析研究了霍普夫分岔方向。关键词：捕食与被捕食系统 two-competitor /one-prey 霍普夫分岔 周期解 稳定性 时间延滞 数值模拟1捕食与被捕食提出的背景捕食与被捕食系统，其实简而言之就是以虫治虫。北宋（9601127年）元丰年间，沈括最早在梦溪笔谈之以虫治虫中-忽有
3、一虫生，如土中狗蝎，其喙有钳，千万蔽地；遇子方虫，则以钳搏之，悉为两段。旬日子方皆尽，岁以大穰。其虫旧曾有之，土人谓之“傍不肯”。记叙了宋神宗元丰年间庆州地区秋田中“傍不肯”消灭“子方虫”，从而使农作物获得丰收的事例。历史告诉我们，如何有效的保护自然资源，积极开展生物防治，充分利用某些农作物害虫的天敌消灭虫害，是促进农业增产，保护生态环境平衡与稳定的一项有效措施。2 捕食与被捕食模型的发展过程早在16世纪，中国明朝的著名的科学家徐光启（1562-1633）就曾用数学的方法估算过人口的增长。他说：头三十年为一世。即人口大致每三十年增加一倍。这是把数学用于种群生态的最早史例。1662年，J.Gra
4、unt研究了伦敦人的出生率和死亡率，通过计算后认为：如果略去移民，伦敦的人口每64年增加一倍。更为著名的是英国神父Malthus的工作，他在1798年出版的著作中提出了人口按几何级数增长的理论。他的这一理论，虽然受到不少人的责难，也的确存在着缺陷。但是，仍有不少人口的统计表明Malthus的计算公式在一定范围内是正确的。例如，1780年到1980年，瑞典在200年中人口普查数据与Malthus的结论相当吻合。1900年，意大利著名数学家V.Volterra在罗马大学的一次题为应用数学与生物和社会科学的尝试的演讲，标志了生物数学发展的一个里程碑。1926年Volterra发表解释了Finme港鱼
5、群变化规律著名论文，使数学生态学推向了高潮。直到20世纪50年代，生物数学才又开始蓬勃发展。70年代才正式把生物数学列入学科目录。随着目前科技的突飞猛进，数学生态学已经在国内以及国际上一路迅速发展，成为生物数学的一个分支，我国生物数学工作者主要集中研究数学模型和种群关系的模拟特别是在Holling I 类，II类， III类机能反应方面做了系统的研究，所得到的结论还是相对比较完整的。数学模型与生态学的结合，将抽象的结果与模型结合不仅贴近实际，而且具有更现实的实用指导意义。对捕食与被捕食系统投入研究的最有开创性的研究是由Gause(1934)提出的。他选用大草履虫作为被捕食者，选用双环栉毛虫作为
6、捕食者，实验表明，捕食者与被捕食者种群见得交互波动方式与Lolk-Voitera模型所做的理论预测是完全一致的，但是这个交互波动只是持续了一个多周期。这个实验说明，要想进行较长时间的种群间的共存，就必须从外进行捕食者和被捕食者的增加，更加完整的模拟生态系统。Bailey-Nicholson模型的优点是有很大的可变通性，它可以推广用于研究昆虫寄主与类寄生物之间的关系，这种关系是一种广义的捕食关系，就昆虫寄主类寄生物系统这一情况而言，Bailey-Nicholson模型中G始终是一个定值。 以上两个模型也有它们的缺陷，是它们的前提条件与它们的实际情况并不是相符的。但是，不可否认的是这两个系统为以后
7、捕食与被捕食者系统提供了最基本的理论模板。由此，从属研究者可以推论出更加现实，合理复杂的系统模型。1973年，Luckinbill对Gause做的实验进行了改进，他将被捕食者改用小核草履虫，被捕食者仍是双环栉毛虫。实验中，他在培养液中放入甲基纤维素，这种方法大大减弱了小核草履虫和双环栉毛虫的活动能力，从而使两个种群的相互影响趋于稳定，稳定周期也有所延长。Luckinbill和Gause设计的实验是空间有限并且环境唯一，没能给种群间提供稳定的实验环境。在这种情况下，捕食作用对被捕食者的调节作用减弱，要使系统起到真正的作用，就必须增加环境上的异质性，还要保持捕食者较高的搜寻效率。1973年，End
8、c设计四膜虫细菌这个系统，在实验中这个捕食与被捕食系统维持了1100小时（相当于种群捕食者繁衍了40世代），在这个系统中被捕食者种群数量显然受着捕食作用的调节，因为在试验期间，被捕食者的密度处于一个低水平。3捕食与被捕食系统的基本模型从模型的数学结构上来看，大多数传染病模型是常微分方程，具有年龄（世代）结构的模型是一阶偏微分方程，具有扩散项的模型是二阶偏微分方程，具有时滞因素的是时滞微分积分方程组。 依照捕食者与被捕食者种群密度，机能反应，群体防御，时间延滞（时滞），基于比率，具有年龄或性别结构，反应扩散有以下几种类型：第一个数学模型：1925年Lolk和1926年 Voitera提出，x,y
9、分别代表被捕食者，捕食者的种群密度，u,v分别代表捕食者种群的生殖率和死亡率，f,g被捕食者的生殖率和死亡率 （1）第二个数学模型：由Nicholson 和Bailey于1935年建立的，该模型实际上是对Lolk-Voitera模型的改进。 （2）该模型描述了捕食者种群和被捕食者种群在某一待定世代密度与下一世代密度之间的关系，即与（，）世代密度之间的关系。其中，F,G,U相当于（1）中的f,g,u. 1973年May研究了（3）的稳定性和Hopf分支问题 （3）Logistic模型的正平衡态局部稳定性和Hopf分支方向以及周期解稳定性问题。Ruan et al. 认为以下two-competi
10、tor / one-prey模型与机能反应，两个捕食者是两个竞争对手，密度分别是v和w。我们利用中心流形理论和Hassard et al方向和范式方法研究分支周期解的稳定性，利用一系列的线性方程等价变换得到确定的平衡系统。从第二节中，在（9）式中我们得到唯一确定根，很容易得到，从公式（13），因此有引理2.3，当，是渐进稳定的。当变化至，其稳定性和霍普夫分岔发生改变。因为和霍普夫分岔处于超临界状态。当时，霍普夫分岔方向改变。在处稳定。4捕食与被捕食动力学建模的研究方向与其意义人们在研究种群生态系统时所关心的问题有两个方面：（一）种群随时间的演变规律。（1）随着时间推移，种群是持续生存还是灭绝？
11、（2）种群的规模是否具有一个或多个平衡状态？（3）这种平衡是否稳定（4）什么情况达到稳定？；（二）如何实施人工干预对种群（群落）进行保护，开发和利用。种群生态学是生态学中的一个重要分支，也是迄今数学在生态学中应用的最为广泛和深入，发展的最为系统和成熟的分支。捕食与被捕食系统最早是在生物生态学研究领域发展的，自然界的万物生生不息，循环发展，又相互制约维持在一个近乎稳定的系统内。科技的发展，让人们投入更多的研究以在现实生活中取得更大的实用价值，从而将数学与生态学完美结合，积极开展生物防治构建合适的模型解决农业害虫问题，也能更好地维持食物链的循环稳定，从而维护大自然的平衡与稳定。参考文献1.尚玉昌,
12、捕食者猎物关系的理论和应用研究J,应用生态学报,1990,1(2).2.伍垌宇,关于非线性机床颤振的Hopf分支,四川大学报.3.马知恩,种群生态学的数学建模与研究,安徽教育出版社，1996：1-904.陈兰狲,数学生态学模型与研究方法,北京科学出版社,1991:1-1215.汪礼等,环境数学模型，华东师范大学出版社,1996.063.6.林昌善,环境生物学，中国环境科学出版社,1986,13239007.郭改慧,李艳玲,陕西师范大学报,自然科学版，2007,35（2）：27-30.8.冯孝周,李艳玲,一类带B-D反应项的捕食模型平衡解的局部分歧及稳定性，西 北师范大学学报,2007,43:8
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