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1、第七章 二阶电路一、教学基本要求1、了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应的物理意义 与概念 。2、会分析简单的二阶电路。二、教学重点与难点1. 教学重点： (1).二阶电路的方程与特征根(2) . 二阶电路的零输入响应、零状态响应、全响 应的概念(3) . 二阶电路过渡过程的过阻尼、欠阻尼及临界 阻尼的概 念及分析(4) . 二阶电路的阶跃响应。2教学难点：1.应用基尔霍夫定律与电感、电容的元件特性建 立动态电路方程；2. 二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程 分析方法与基本物理概念。三、本章与其它章节的联系：本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方 法与定理全部可以
2、用于本章的分析中。第 9 章讨论的线性电路的正 弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。总学时：2四、学时安排教学内容学时二阶电路的零输入响应、二阶电路的零状态响应2五、教学内容 7.1二阶电路的零输入响应二阶电路是指用二阶微分方程来描述的电路。下面主要通过分析 RLC串联电路来说明求二阶电路响应的方法。1方程与初始条件图7.1图7.1所示的RLC串联电路在t=0时刻闭合开关，设电容原本 充有电压U。，此电路的放电过程是二阶电路的零输入响应问题。电 路的KVL方程及元件的VCR为：Rt= 0dur十di!_i i- -PJ_i-dtdt若以电容电压为变量，从以上方程中消去其他变量得
3、二阶齐次微分方程：茁理+购鱼+0处di迤+)初始条件为：u C(O+)=UO， i (0+)=0，或 dt “ME曲若以电感电流为变量，则方程为：0初始条件为：i (0+)=0，根据0得： 2 二阶微分方程的解及其物理意义以电容电压为变量，电路方程为：-r_-R2-4L/C _+ f. _ 丄特征根为：二 迁 =2LV2l）TC上式表明特征根仅与电路参数与结构有关，而与激励与初始储能 无关。当R、L、C的参数不同，特征根为不同的形式。下面分三种 情况讨论。社2医（1）当 W 时，特征根为两个不相等的负实根，电路处 于过阻尼状态。此时方程的解为：du.小0由初始条件：叫（0*） = 5，出（04
4、-）了+4 二 5得：占+耳4二0即：% 二孕-耳討3）因此电容电压为：马-耳l = -c=列 _严）电流为：加丄（乌-）%二匸竺二一乩（來丹-孕玛）电感电压为：曲-图7.2给出了电容电压、电流与电感电压随时间变化的波形，从 中可以看出，电容电压与电流始终不改变方向，且最终衰减至零，说 明电容始终在释放能量，称过阻尼放电。能量的转换过程如图7.3所 示。图7.2表明t=t时，iC取得最大值，t=2tm时，匕为极小值。mCL第4页通过对电流求导，可计算时间t。即:m图7.2图7.3R2（2）当F电状态。令：时，特征根为两个共轭复根，电路处于振荡放2L二屁则特征根为：产二一 S J（D电容电压的U
5、C的通解形式为：叫=占尹古+堆尹古=严（月严+譬r经常把上式写成三角函数形式：哄=屁引n曲+0） 故把称为振荡频率。通解中待定常数A , b根据初始条件确定，即:兔（0J 二二色（0十）=0 _园（一占）血#十且go吕0 = 0、dt貝二亘，0“昇 联立求解以上方程得：由于s、S。、6、b满足图7.4所示的三角关系:at所以4%iD气二鱼5尹乜诚旗+0)“二Y叫二色訂皿则&处诚叫二匸色二-巴见严沁血-0)di U图7.4图7.5图7.5给出了电容电压与电流随时间变化的波形，从中可以看出， 波形呈衰减振荡的状态，在整个过渡过程中电容电压与电流周期性的 改变方向，表明储能元件在周期性的交换能量，处
6、于振荡放电。在半 个周期里能量的转换过程如图7.6所示。图7.6若rlc振荡回路中的电阻R=0，则产生等幅振荡放电。此时有:uc =肚上=% dn（曲+ 90。）a）L当貝述 时，特征根为两相等的负实根，电路处于临界阻尼状态。特征根为：昇乂龙八方程的通解为：叫二血如+&好氛遏0)二 4-忌=5根据初始条件得：也们7(“)心“解得:叫=5严（1十肌）从以上诸式可以看出，电压与电流具有非振荡的性质，其波形类 似于图7.2，波形呈衰减状态，然而，这种过程是振荡与非振荡过程 的分界线，所以称为临界阻尼状态，这时的电阻称为临界电阻。 总结以上分析过程得用经典法求解二阶电路零输入响应的步骤：1）根据基尔霍
7、夫定律与元件特性列出换路后的电路微分方程，该 方程为二阶线性齐次常微分方程；2）由特征方程求出特征根，并判断电路是处于衰减放电还是振荡 放电还是临界放电状态，三种情况下微分方程解的形式分别为：特征根为两个不相等的负实根，电路处于过阻尼状态：y（t） = A1eP 十冯严特征根为两个相等的负实根，电路处于临界阻尼状态：y（t） =+4抱”特征根为共轭复根，电路处于衰减振荡状态：3）根据初始值I盃确定积分常数从而得方程的解。以上步骤可应用于一般二阶电路。例7-1图示电路在tvO时处于稳态，t=0时打开开关，求电容电压 UC并画出其变化曲线。例 7 1 图（a ）（ b）解：求解分三步：（1）首先确
8、定电路的初始值。由tvO的时稳态电路，即把电感短路，电容断路，得初值为：u（0）=25V ,iL（0）=5A（2）开关打开，电路为RLC串联零输入响应问题，以电容电 压为变量的微分方程为：比旦十胆如十咕0dtdt带入参数得特征方程为：50P 2+2500 P +106=0解得特征根：F = -257139由于特征根为一对共轭复根，所以电路处于振荡放电过程，解 的形式为：叫二推一血命（上色+切口 认 | 二-5（3）确定常数，根据初始条件处快一得：有：厘二跖b , 0 =门0 即：叫二站能笑血（1弦+176）芦 电压随时间的变化波形如图（b）所示。例7-2图示电路为RC振荡电路，试讨论k取不同值
9、时输出电压氏2 的零输入响应情况。图例7-2j = j + j = _L + 亡解：对节点A列写KCL方程：12 s处列写KVL方程：叫+哼+右煜+呼对方程两边微分，整理得：17特征方程为：RC丘叱2特征根为：2RCV2RC 応三3-立1.Q =,徐= . ” C-,厂巨RC贝I：令:F面进行讨论：(1) 若520，为衰减振荡；当k=3时有d = 0，为等幅振荡；当3vkv5时有dv0，为增幅振荡。若占仝出；，特征根为两个负实根，电路为阻尼情况，此3 土 22,kv1,k5时有: 7.2二阶电路的零状态响应与阶跃响应1零状态响应与阶跃响应二阶电路的初始储能为零，仅由外施激励引起的响应称为二阶电
10、 路的零状态响应。二阶电路在阶跃激励下的零状态响应成为二阶电路 的阶跃响应。零状态响应与阶跃响应的求解方法相同。现以图7.6所 示RLC串联电路为例说明求解方法。图中激励为阶跃电压，因此电路的初始储能为：Uc(O)=Uc(O+)=O,iL(O)=iL(O+)=O。LLPz RL J1+c_ CE呦图7.6t0后，根据KVL与元件的VCR得以电容电压为变量的电路微分方程：LC一 十= Edtdt特征方程为；尸+RCF+1 = 0方程的通解求法与求零输入响应相同。令方程中对时间的导数为零，得方程的特解：山二丘则U的解答形式为：叫二E +坷用斗&严(0严刃)叫二E +/曾r古+吗(珂二二_可叫二 E
11、 + j4旦0 sin(曲+ 0)2 = -8 Jnj)叫（0+）二 0竺（0十）由初值L迓确定常数电路在阻尼状态与振荡状态时电容电压随时间的变化波形如图7.7所示，表明电容电压从零上升最后稳定在E值。图7.72二阶电路的全响应如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激励，则电路的响应称 为二阶电路的全响应。全响应是零状态响应与零输入响应的叠加，可 以通过把零状态方程的解带入非零的初始条件求得全响应。例7-3图示电路在tvO时处于稳态，t=0时打开开关，求电流i 的零状态响应。例 7 3 图（a ）（ b ）解：（1）列写微分方程，由KCL得：* = j - 0.5 = i - 0.5(2 - I
12、)x 2 = 2f- 2由KVL得：2(2 -I)=五+ 可 iydt + 手 +d i Q di 十.整理以上两个方程得：茁方程为二阶非齐次常微分方程。解答形式为：“r+r(2) 求通解i特征方程为：0 + 8尸+12 = 0特征根为：Pl = 2 , P2= 6所以“严+厶严(3) 求特解i ”由图(b)所示的稳态模型得：i=0.5U,片=2(2 0.5uJ,解得：U=2V,i=1A所以 = 1+4谭 旦(4) 定常数二 i (IT)二 0= 2 定常数，代入初值有tlOOcos-lOOTLsinO解得： I二屈所以 =l+-72imsm(100f + 45D)(5) 求电流iRRq =1+ 2e_100J sin(100 7.3二阶电路的冲激响应零状态的二阶电路在冲击函数激励下的响应称为二阶电路的冲击响应。注意电路在冲击激励下初始值发生了跃变。现以图7.8所示RLC串联电路为例说明求解方法。图7.8图中激励为冲击电压，因此t=0时电路受冲击电压激励获得一 定的能量。根据KVL与元件的VCR得t=0时刻以电容电压为变 量的电路微分方程为：口牛十厳：叫十叫二占（X）dt2dt f把上式在t=0-到0+区间积分并
