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1、第三章 导数及其应用全国卷年考情图解高考命题规律把握1.本章内容在高考中一般是“一大一小” 2.在选择题或填空题中考查导数的几何意义，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中3.解答题一般都是两问的题目，第一问考查求曲线的切线方程，求函数的单调区间，由函数的极值点或已知曲线的切线方程求参数，属于基础问题第二问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题.2018年全国卷和全国卷均以不等式的证明为载体，考查了导数在函数单调性中的应用，总体难度偏大.第一节导数的概念及运算、定积分1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率li l
2、i 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或yxx0，即f(x0)li li .函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”(2)导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线.(3)函数f(x)的导函数：称
3、函数f(x)li 为f(x)的导函数(4)f(x)是一个函数，f(x0)是函数f(x)在x0处的函数值(常数)，f(x0)0.2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0，且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(
4、u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积5定积分的概念在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式6定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算.7微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那
5、么f(x)dxF(b)F(a)，常把F(b)F(a)记作F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a)8定积分的几何意义定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线yf(x)及直线xa，xb之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S.Sf(x)dx；Sf(x)dx；Sf(x)dxf(x)dx；Sf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx.(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边
6、梯形面积相等时，定积分的值为零.熟记常用结论1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2熟记以下结论：(1)；(2)(ln|x|)；(3)(f(x)0)；(4)af(x)bg(x)af(x)bg(x)3常见被积函数的原函数(1)cdxcx；(2)xndx(n1)；(3)sin xdxcos x；(4)cos xdxsin x；(5)dxln|x|；(6)exdxex.小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(2)因为(ln x)，所以ln x()(3)设函数yf(x)在区间a，b上连续，则f(x)dxf(t)d
7、t.()(4)定积分一定是曲边梯形的面积()答案：(1)(2)(3)(4)二、选填题1下列求导运算正确的是()A.1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2sin x解析：选Bx1；(3x)3xln 3；(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x故选B.2如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()解析：选D由yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A、C.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)
8、与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3已知t是常数，若(2x2)dx8，则t()A1 B2C2或4 D4解析：选D由(2x2)dx8，得(x22x)t22t8，解得t4或t2(舍去)4若f(x)xex，则f(1)_.解析：f(x)exxex，f(1)2e.答案：2e5曲线y1在点(1，1)处的切线方程为_解析：y，y|x12.故所求切线方程为2xy10.答案：2xy10考点一导数的运算基础自学过关题组练透1f(x)x(2 018ln x)，若f(x0)2 019，则x0等于()Ae2B1Cln 2 De解析：选Bf(x)2 018ln xx2 019ln x，故由
9、f(x0)2 019，得2 019ln x02 019，则ln x00，解得x01.2(2019宜昌联考)已知f(x)是函数f(x)的导数，f(x)f(1)2xx2，则f(2)()A. B.C. D2解析：选C因为f(x)f(1)2xln 22x，所以f(1)f(1)2ln 22，解得f(1)，所以f(x)2xln 22x，所以f(2)22ln 222.3若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)_.解析：f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.答案：24求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yln x；(3)y；(4)yxsincos.解：(1)
10、y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x).(3)y.(4)yxsincosxsin(4x)xsin 4x，ysin 4xx4cos 4xsin 4x2xcos 4x.名师微点1求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导2常见形式及具体求导6种方法连乘形式先展开化为多项式形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式先化为和、差形式，再求导复合函数先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元提醒对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于
11、f(x)f(x0)g(x)h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f(x)，令xx0，即可得到f(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值考点二导数的几何意义及其应用全析考法过关考法全析考法(一)求切线方程例1(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2x Dyx解析法一：f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(
12、x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.法二：f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，f(x)3x22(a1)xa为偶函数，a1，即f(x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.答案D考法(二)求切点坐标例2已知函数f(x)xln x在点P(x0，f(x0)处的切线与直线xy0垂直，则切点P(x0，f(x0)的坐标为_解析f(x)xln x，f(x)ln x1，由题意得f(x0)(1)1，即f(x0)1，ln x011，ln x00，x01，f(x0)0，即P(1,0)答案(1,0)考法(三)由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)例3(1)(2018商丘二模)设曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)3ax2cos x上某点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围是()A1,2 B(3，)C. D.(2)(2018全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a_.解析(1)由f(x)exx，得f(x)ex1，ex11，(0,1)由g(x)3ax2cos x，得g(x)3a2sin x，又2sin x2,2，3a2sin x23a，23a要使过曲线f(x)exx上任意一点的切线l1，总存在过曲线g(x)3ax2cos x上某点处的切线l2
