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1、大题冲关集训(五) 1.(2013广东广州高三毕业班第二次综合测试)经过点F(0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线l,使直线l与轨迹M在点D处的切线平行,设直线l与轨迹M交于点B、C.(1)求轨迹M的方程;(2)证明:BAD=CAD.(1)解:法一设动圆圆心为(x,y),依题意得,=|y+1|.整理得x2=4y.所以轨迹M的方程为x2=4y.法二设动圆圆心为P,依题意得点P到定点F(0,1)的距离和点P到定直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义知,动点P的轨迹是抛物线.且其中定点F(0,1)为焦点,定
2、直线y=-1为准线.所以动圆圆心P的轨迹M的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)得x2=4y,即y=x2,则y=x.设点D(x0,),由导数的几何意义知,直线l的斜率为kBC=x0.由题意知点A(-x0,).设点C(x1,),B(x2,),则kBC=x0,即x1+x2=2x0.因为kAC=,kAB=.由于kAC+kAB=+=0,即kAC=-kAB.所以BAD=CAD.2.(2013广东六校第二次质检)已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴的两个端点分别为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程;(2)若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足
3、MDCD,连接CM,交椭圆于点P,证明:为定值.(O为坐标原点)(1)解:依题意得a=2,b=c,b2=2,故椭圆方程为+=1.(2)证明:C(-2,0),D(2,0),设M(2,y0),P(x1,y1),则=(x1,y1),=(2,y0).直线CM的方程为y=(x+2),即y=x+y0,代入椭圆方程得(1+)x2+x+-4=0.解得x1=-,y1=x1+y0=,即=(-,),=-+=4(定值).3.(2013河南洛阳一模)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆O相切.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C与曲线|y|=kx(k0)的交点
4、为A、B,求OAB面积的最大值.解:(1)由题设可知,圆O的方程为x2+y2=b2,因为直线l:x-y+2=0与圆O相切,故有=b,所以b=.又e=,所以有a2=3c2=3(a2-b2),所以a2=3,所以椭圆C的方程为+=1. (2)设点A(x0,y0)(x00,y00),则y0=kx0,设AB交x轴于点D,如图,由对称性知:SOAB=2SOAD=2x0y0=k.由解得=.所以SOAB=k=.当且仅当=3k,即k=时取等号.所以OAB面积的最大值为.4.(2013广东省华师附中综合测试)如图,已知椭圆C:+y2=1的上、下顶点分别为A、B,点P在椭圆上,且异于点A、B,直线AP、BP与直线l
5、:y=-2分别交于点M、N.(1)设直线AP、BP的斜率分别为k1,k2,求证:k1 k2为定值;(2)求线段MN的长的最小值;(3)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.(1)证明:A(0,1),B(0,-1),令P(x0,y0),则由题设可知x00, 直线AP的斜率k1=,PB的斜率k2=,又点P在椭圆上,所以+=1(x00),从而有k1k2=-.解:(2)由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k1(x-0),直线BP的方程为y-(-1)=k2(x-0),由由直线AP与直线l的交点M(-,-2),直线BP与直线l的交点N(-,-2).又k1k2=-,|MN|=|-|
6、=|+4k1|=+4|k1|2=4,当且仅当=4|k1|,即k1=时取等号,故线段MN长的最小值是4.(3)当点P运动时,以MN为直径的圆恒过定点.设点Q(x,y)是以MN为直径的圆上的任意一点,则=0,故有(x+)(x+)+(y+2)(y+2)=0,又k1k2=-,所以以MN为直径的圆的方程为x2+(y+2)2-12+(-4k1)x=0,令x=0,得(y+2)2-12=0,解得y=-2+2,或y=-2-2,所以以MN为直径的圆恒过定点(0,-2+2)或(0,-2-2).5.(2012年高考江西卷)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=(+
7、)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2x0b0)的离心率为,直线l:x-y+2=0与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直直线l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;(3)若A(x1,2),B(x2,y2),C(x0,y0)是C2上不同的点,且ABBC,求y0的取值范围.解:(1)e=,所以e2=,所以2a2=3b2,又因为直线l:x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切,所以=b,b2=2,a2=3,所以椭圆C1的方程是+=1.(2)因为|MP|=|MF2|,所以,动点M到定直线l1:x=-1的距离等于它的定点F2(1,0)的距离,所以,动点M的轨迹是以l1为准线,F2为焦点的抛物线,=1,所以点M的轨迹C2的方程为y2=4x.(3)由(1)知A(1,2),B(,y2),C(,y0),y02,y0y2,则=(,y2-2),=(,y0-y2),又ABBC,所以=0,于是+(y2-2)(y0-y2)=0,整理得+(y0+2)y2+16+2y0=0,此方程有解,所以=(y0+2)2-4(16+2y0)0,解得y0-6或y010,所以,点C的纵坐标y0的取值范围是(-,-610,+).
