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1、全国大学生数学竞赛第一届2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水土，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。第二届2011年3月，历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省（区、市）数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人，已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。竞赛用书该比赛指导用书为大学生数学竞赛指导，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组
2、织编写，已经由清华大学出版社出版。竞赛大纲中国大学生数学竞赛竞赛大纲（2009年首届全国大学生数学竞赛）为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。1. 竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。2. 竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业
3、类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%高等彳t数占35%解析几何占15%具体内容如下：I、数学分析部分3. 集合与函数4. 1.实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.5. 2.上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.6. 3.函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.7. 极限与连续8.
4、1.数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.9. 2.数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.10. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.11. 4.函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质
5、（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.12. 一元函数微分学11.1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.12.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式（Peano余项与Lagrange余项）.13.3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（LHospital）法则、近似计算.14.多元函数微分学15.1.偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、
6、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.16.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.17.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.18.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.19.一元函数积分学20.1.原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.21.2.定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数
7、类.22.3.定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.23.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.24.5.微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.25.多元函数积分学26.1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.27.2.三重积
8、分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.28.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.29.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.30.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.31.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.32.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.33.无穷级数34.1.数项级数级数及其敛散性，级数的和
9、，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.1.函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.1.幕级数幕级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幕级数的一致收敛性，幕级数的逐项可积性、可微性及其应用，幕级数各项系数与其和函数的关系、函数的幕级数展开、Taylor级数、M
10、aclaurin级数.1. Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.n高等代数部分1 .多项式2. 1.数域与一元多项式的概念3. 2.多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法4. 3.互素、不可约多项式、重因式与重根.5. 4.多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.6. 5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.7. 6.本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.
11、8. 7.多元多项式及对称多项式、韦达（Vieta）定理.9. 行列式10.1.n级行列式的定义.11.2.n级行列式的性质.12.3.行列式的计算.13.4.行列式按一行（列）展开.14.5.拉普拉斯（Laplace）展开定理.15.6.克拉默（Cramer）法则.16.线性方程组17.1.高斯（Gauss）消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.18.2.n维向量的运算与向量组.19.3.向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.20.4.向量组的极大无关组、向量组的秩.21.5.任隹的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.22.6.线性方程组有解判别定理、线性方程
12、组解的结构.23.7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数24.矩阵25.1.矩阵的概念、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置等运算）及其运算律.26.2.矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.27.3.矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.28.4.分块矩阵及其运算与性质.29.5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.30.6.分块初等矩阵、分块初等变换.31.双线性函数与二次型32.1.双线性函数、对偶空间33.2.二次型及其矩阵表示.34.3.二次型的标准形化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.35.4.复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.36.5
13、.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵37.线性空间38.1.线性空间的定义与简单性质.39.2.维数，基与坐标.40.3.基变换与坐标变换.41.4.线性子空间.42.5.子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.43.线性变换44.1.线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.45.2.特征值与特征向量、可对角化的线性变换.46.3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.47.4.线性变换的值域与核、不变子空间.48.若当标准形49.1.矩阵.50.2.行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.51.3.若当标准形.52.欧氏空间53.1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹
14、角与正交、度量矩阵.54.2.标准正交基、正交矩阵、施密特（Schmidt）正交化方法.55.3,欧氏空间的同构.56.4.正交变换、子空间的正交补.57.5.对称变换、实对称矩阵的标准形.58.6.主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.59.7.酉空间.田、解析几何部分1. 向量与坐标2. 1.向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.3. 2.坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.4. 3,向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.5. 4,向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.6. 5,应用向量求解一些几何、三角
15、问题.7. 轨迹与方程8. 1,曲面方程的定义：普通方程、参数方程（向量式与坐标式之间的互化）及其关系.9. 2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.10.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.11.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.12.平面与空间直线13.1,平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.14.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.15.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线问的位置关系.16.4.根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.17.二次曲面18.1,柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.19.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.1 0.3,单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.根据给定直线族求出它表示的直纹
