《江苏省高考数学二轮复习专题八附加题第4讲几何证明选讲不等式选讲学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省高考数学二轮复习专题八附加题第4讲几何证明选讲不等式选讲学案（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4讲几何证明选讲、不等式选讲考情考向分析1.考查三角形及相似三角形的判定与性质；圆的相交弦定理，切割线定理； 圆内接四边形的性质与判定，属B级要求.2.考查含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B级要求热点一三角形相似的判定及应用例1(2018徐州模拟)如图， AB是圆O的直径，弦BD, CA的延长线相交于点E, EF垂直BA的延长线于点F.求证： AB2BEBDAEAC.证明连结AD，BC，因为AB为圆O的直径，所以ADBD，又EFAB，则A，D，E，F四点共圆，所以BDBEBABF.又ABCAEF，所以，即ABAFAEAC，所以BEB
2、DAEACBABFABAFABAB2.思维升华在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理同时，要注意等量的代换跟踪演练1如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC.求证：AC2AD.证明连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADOACB90.又因为AA，所以RtADORtACB.所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.热点二圆有关定理、性质的应用例2(2018江苏南京师大附中模拟)在ABC中，已知ACAB，CM是ACB的角平分线，AMC的外接圆交BC边于点N，求证：BN2AM.证明如图，在ABC中，因为CM是ACB的角平分线，所以.又A
3、CAB，所以，因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，所以BMBABNBC，即由可知，所以BN2AM.思维升华本题使用三角形内角平分线定理和圆的切割线定理，灵活进行等量代换，较好体现了化归和转化的数学思想跟踪演练2(1)(2018南通、徐州、扬州等六市模拟)如图，A，B，C是O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D.求证： DBDCOD2OA2.证明如图，延长AO交O于点E，则DBDCDEDA.OEOA，DBDCOA2OD2.DBDCOD2OA2.(2)(2018江苏盐城中学模拟)如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB，AC分别交于点E，F.已知AD为BAC的平分线求证： EFBC.证明如图，
4、连结ED.因为圆与BC切于D，所以BDEBAD.因为AD平分BAC.所以BADDAC.又DACDEF，所以BDEDEF.所以EFBC.热点三不等式的证明例3(1)(2018南通、徐州、扬州等六市模拟)已知a，b，c为正实数，且abc，求证： 2.证明a, b, c为正实数，2(当且仅当abc时取“”)故原式成立(2)已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明因为x0，y0，所以1xy230,1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.当且仅当xy1时，等号成立思维升华证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等；依据不等式的结构特征，也可以
5、直接使用柯西不等式进行证明跟踪演练3已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.热点四 柯西不等式例4(1)(2018淮安等四市模拟)已知a，b，c，d都是正实数，且abcd1，求证： .证明(1a)(1b)(1c)(1d)2(abcd)21，当且仅当abcd时，等号成立又(1a)(1b)(1c)(1d)5，.(2)(2018南京模拟)已知a，b，c，且abc1，求的最大值解因为(1
6、21212)()2()2()2(111)2，即()29(abc)因为abc1，所以()29, 所以3，当且仅当，即abc时等号成立所以的最大值为3.思维升华利用柯西不等式证明不等式或求最值时，要先根据柯西不等式的结构特征对式子变形，使之与柯西不等式有相似的结构跟踪演练4(2018江苏丹阳高级中学模拟)已知正数x，y，z满足xyz4，求z2的最小值解由柯西不等式得， 2 2 16，所以z2，当且仅当，即x，y，z时取“”所以z2的最小值为.1(2018江苏)如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C.若PC2，求BC的长证明如图，连结OC.因为PC与
7、圆O相切，所以OCPC.又因为PC2，OC2，所以OP4.又因为OB2，从而B为RtOCP斜边的中点，所以BC2.2(2018江苏)若x，y，z为实数，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值证明由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因为x2y2z6，所以x2y2z24，当且仅当时，不等式取等号，此时x，y，z，所以x2y2z2的最小值为4.3(2017江苏)如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，APPC，P为垂足求证：(1)PACCAB；(2)AC2APAB.证明(1)因为PC切半圆O于点C，所以PCACBA，因为AB为半圆O的直径，所以ACB90，因为
8、APPC，所以APC90.因此PACCAB.(2)由(1)知PACCAB，故，即AC2APAB.4(2017江苏)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216，证明：acbd8.证明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)，因为a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.1(2018苏锡常镇四市调研)如图所示，AB为O的直径，AE平分BAC交O于E点，过E作O的切线交AC于点D，求证：ACDE.证明连结OE，因为ED是O切线，所以OEED.因为OAOE，所以1OEA.又因为12，所以2OEA，所以OEAC，所以ACDE.2.如图，在ABC中，ABAC
9、，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求证：ABDAEB.证明因为ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE，又BAE为公共角，可知ABDAEB.3如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BDDC，连结AC，AE，DE.求证：EC.证明连结OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以ODAC，于是ODBC.因为OBOD，所以ODBB，于是BC.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以E和B为同弧所对的圆周角，故EB.所以EC.4解不等式x|2x3|2.解原不等式可化为或解得x5或x.综上，原不等式的解集是.5(2018
10、江苏南京师大附中模拟)已知a0，b0，ab1，求证：.证明方法一因为a0，b0，ab1，所以(2a1)(2b1)14529.而(2a1)(2b1)4，所以.当且仅当即a，b时，等号成立方法二因为a0，b0，由柯西不等式得(2a1)(2b1)2(12)29.由ab1，得 (2a1)(2b1)4，所以.当且仅当即a，b时等号成立6(2016江苏)设a0，|y2|，求证：|2xy4|a.证明由a0，|x1|可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.即|2xy4|a.7(2018全国大联考江苏卷)如图，AD，BC，CD是以AB为直径的圆的切线，切点分别为A，B，P，AC和BD交于Q点求证：PQAB.证明AD，BC是以AB为直径的圆的切线，ADAB，BCAB，ADBC，CQBAQD，.又DA，DP是以AB为直径的圆的切线，DADP，同理，CPCB，PQDA，又DAAB，PQAB.8已知实数x，y满足x23y21，求当xy取最大值时x的值解由柯西不等式，得x2(y)22，即(x23y2)(xy)2.而x23y21，所以(xy)2，所以xy， 由得所以当且仅当x，y时，(xy)max.所以当xy取最大值时x的值为.
