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1、3 几何光学中常见的角“角”在几何光学中占有十分重要的地位：我们除了研究光的传播方向与某些特殊方向 （例如水平方向或竖直方向，与界面界面的法线方向）间构成的角外，还要研究由两条光线 所夹的角，以及光的传播方向发生改变时所形成的角。3。.1 方位角把太阳光成平行光时，直立于地面的长杆形成的影会随着阳光入射方位的变化而变化 如果要比较一年之中每天正午时刻杆影长度的大小，在北半球冬至日由于太阳光投射到场面 的倾角最小因此杆影最长；夏至日由于太阳光投射到地面的倾角最大，因此杆影最短。若杆 长lm,在北京所在的纬度（北纬400）,冬至日影长L二h-tan（4Oo + 23.5o）u 2.00m，约1为夏
2、至日影长L二h tan（4200 - 23.5。L 0.32m的近7 倍,此处的23.5 0实际上就是北回归线所在的地理纬度。早在两千多年前，古希腊的学者埃拉色托尼正是利用这一点巧妙地估算出地球的半径。埃拉色托尼住在尼罗河口的亚历山大城，在夏日那天正午时刻他观察到太阳光与当地的竖直亚历山大城赛伊尼线成 7.20角入射；他还知道此时位于亚历山大城正南的赛伊尼（该地离亚历山大城804.5km，这个距离他 请人测量过）的一口深井太阳光直射井底（图 l）。 由于夏至日正午阳光 直射北回归线，因此赛伊尼城l位于北回归线上;又由于7.2。角是圆周角360。的50， 所以地球周长就等于804.5km的50倍
3、。根据圆的财 长与半径的关系，埃拉色托尼算出地球的半径约为 6400km，这是人类首次对地球半径作出的准确的测 量，太阳光的方位角在这里起了决定性的作用。3.2张角张角又称视角，它是指从我们看到物体的两端引出到眼睛的连线的夹角。由于地球绕日 运行的轨道（椭圆）的偏心率较小，因此可以认为日面对人眼的张角基本不变，其大小约为3158。我们在地面上看太阳，这样的张角差不多相当于一枚5分的硬币（直径2.4cm）放 在离眼睛 2.6m 远处见到的情况。另外我们还知道，在地平线附近由由于大气的折射作用， 天体的视观察位置要比它的实际位置高37左右，这个值比太阳的张角略大，说明当我们到太阳已经从地平线全部升
4、起时，实际上太阳的位置还完全处于地平线之下，只是由于大气的 折射作用，才使我们看到位于地平线以下的完整日面。可以把月面张角和日面张角作一比较，由于月球轨道的偏心率较大，根据月面到地面的 距离在3.56x 105k加口 4.07x 105km之间变化的情况以及月球半径1738km不难算出。月成 张角最大为3324，最小为2914。实际上正是由于日面角的大小介于两者之间，因此当 月球、地球及太阳三者运行到一条直线发生日食的时候，才会有日全食和日环食之分。3。.3入射角、反射角、折射角例1：在ZEOF内有一点C,试在角的两边上分别取一点A和B,使构成的厶ABC具 有最小周长。分析：从反射定律的角度求
5、解这一几何问题极为简便：分别作出 C 点关于射线 OE 的对图2称点C和它关于射线OF的对称点C2,连C、 C2分别交OE和OF于A、B,此时我们所作 出的三角形就是满足上述周长最小的条件的 三角形，因为其周长等于线段 C1C2 的长度； 而此时如果在射线OE及OF上另外取点A和 B,则AABC的周长即折线CA + ABf + BfCf的长度必定大于线段C1C21 2 1 2 的长度。在这里我们正是利用了反射定律中反 射角等于入射的结论，才给出C与c、C2与 C 之间完全对称的位置关系。视深“是一个与折射有关的物理概念。“角”在“视深”问题的分析中举足轻重，例如： 我们在水边观察水中物体时，其
6、目测深度比它的实际深度要浅些。当视线十分接近竖直方向h时，图3甲中的S是位于水中的物体，S是它的虚像。若水的折射率为n ,贝“视深”h h =,n sini tani x / h这是由于介质的折射率n =的缘故，下面我们继续讨论一个当界面为球sin r tan r x / h面时，“视深”与实际深度之间的关系的问题。例2：在图3乙中，半球形玻璃砖的折射率为n，在球心正上方的某一位置S处有一小气泡， S 是从上往下看时气泡的像点，作出图中折射光线与界面交点处的法线（即半径 sin iOA的延长线）后可以看出： n =；另外，图中各角之间的几何关系又给出了sin ri R-e, r 二卩-9,.
7、n 二 i 二呂Xlhh_-X/R 二 h（R-h, 即r a-p x / h - x / R h，（R - h ）这就是球形界面条件下表示“视深” h与实际深度h之间关系的等式,通过上式可以看出，“视深” h的大小完全取决于物点的位置（即h与r的关系）和介质的折射率 n 的大小。 当n=1时，显然有h =h.。h 只有当R 时（即球面变为平面）时才有h二，此时上述结果与甲图的情况n是完全一致的。 当h二R （气泡恰好位于球心）时，h = h，因为在这种情况下，从玻璃射向空气 的光线恰好沿法线方向入射，所以才有“视深”等于实际深度的结论。 如果用Ah二h - h来表示实际深度与“视深”之差，则
8、h（R h ）（n 1）Ah = h h=。由于在两种情况下（物点位于球心及物点位于界nR nh + h面）都有Ah二0，因此对于任何一种折射率为定值的玻璃来说，都存在一个当hh（R- h）取什么值时Ah最大的问题。例如：当n=1.5时，Ah =，此式在3R h沁 0.55R 时，Ah 有极大值，Ah = （5 一 2j6 ）R 沁 0.101R。max乙图33。.4 临界角光从光密介质射向光疏介质界面发生全反射时最小入射角就是临界角，它相当于图 4 中 折射角恰好等于900时的入射角0。这里“90。的折射角”仅具有理论上的意义，因为这条 沿界面方向传播的“折射光线“实际上并不存在。对此我们可
9、以从以下两个方面加以说明：首先，当入射角逐渐偏离法线达到临界角之前，随着入射角的增大，光从界面返回光密介质的能量比例越来越大，而进入光疏介持的能量比法例越来越小，在接近临界角时，后者所占的份额 几乎降到了零；其次从光路的可逆性的角度考虑， 如果存在沿界面向右传播的光线，则向左沿界 面反向传播的光线/在原入射点处将向左下方拐 向原入射光线的反向，这是根本不可能的.例 3：一个半导体砷化镓发光二极管发出波长 为l.Op m的红外光，发光区域为直径d二3mm的圆盘，在发光面上对称地覆盖着一层折AB射率n二2.4的半球形介质（图5）。试问：要使发光面AB上发出的任何一条光线在球面上 都不能发生全反射，
10、介质球面的半径至少应为多大？分析：此时需要证明，从发光面端点B （或A）垂直发光面射 出的光线BC与半径 OC所夹的角ZBCO就是所有从发光面射向界面的角中入射角最大的一个。证明可以分以下 两步进行：与发光面AB垂直出射后射向界面的所有入射角中，ZBOC是它们当中最大 的一个，这是由于入射光线BC受发光面大小的限制已不可能再进一步向右移动的缘故； 从B点以其他角度入射于介质与空气界面的角（无论入射线是在BC的左侧还是在其右侧）图5均小于ZBCO,这是由于在 B C O中，根据正弦定理（兀-甲），于是对R _ OB sin （兀一甲）sin0应9_ y时，sin 0最大。由此可见，只要入射光线B
11、C 在射出后不发生全反射，则所有其他从发光面射向界面的l 光线就都不会发生全反射。记zBCO = 0，根据全反射时的临界条件sin 0 _ 及mm nd /2lsin0 _ 得 R _ nd _ 3.6mm。m R min 23.5 偏向角（此时光路具有左右对称的形式，i和i两角之和最小）。对应的最小偏向角 min与介质12.a +8 min , . asini的折射率间存在着关系n二sin/sm，这是由于n二 ，而22sin ra +8ai二亍宀卩r二2。可见借助偏向角同样可以提供一种测量介质折射率的方法。3.6视场角与视野例 4：为了观察门外的情况，有人在门上开了一个截面为正方形的孔，并将
12、一块折射射 率为n的正方形玻璃砖恰好完整地嵌入孔中（图7）。设正方形玻璃砖截面边长为2r,厚度 为d,试写出从门内观察时视场角与最大视野角的表达式。分析：视场角0是从玻璃砖的内端面中心紧贴玻璃面向外观看时，门外入射光线与轴线间的最大夹角，根据折射定律sin 0 = n - sin a =可知9 = arcsin。然而r 2 + d 2r 2 + d 2实际上由于人眼在门内观察时，其位置是可以自由移动的，于是我们就把眼睛位于孔的最左端时所能见到门外最右侧的一条光线，与当眼睛们于孔的最右端时所能见到门外最左侧的一 条光线之间的夹角2申的一半称为视野角，因此图7sinp.2r=n,由sin 0 =可得视野角sinP4r 2 + d 29 = arcsin，显然，视场角与视野角并非同一4r 2 + d 2概念，例如，当 d = 1.2cm, 2r = 1.0cm, n = 1.5 时, 对应的视场角9 = 35.20，而对应的视野角9 = 73.8。，可以看出，后者一般比前者大很多。
