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1、第一、二章 空间几何体和点、直线、平面之间的位置关系测试卷（人教A版）一、选择题1在三棱锥中,底面，,则点到平面的距离是( ) A B C D2设底面为正三角形的直棱柱体积为V,那么表面积最小时,底面边长为 ( ). . . 23在中，（如下图），若将绕直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 A. B. C. D.4已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，BC=2，则球心 到平面ABC的距离为 （ ）A1 B C D25不同直线和不同平面，给出下列命题 其中假命题有： A、0个 B、1个 C、2个 D、3个6如右图所示，正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）
2、中，分别是 的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是（）A B C D随点的变化而变化.7在正方体中，直线与平面所成的角为，则值为（ ）A、 B、 C、 D、8已知在三棱锥中，分别为，的中点 则下列结论正确的是（ ） A B C D 9在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离为( ) A B C D 10在三棱锥中,底面，则点到平面的距离是（ ） A B C D11经过空间任意三点作平面 A只有一个B可作二个C可作无数多个D只有一个或有无数多个12如果直线a平面,那么直线a与平面内的 A. 任意一条直线不相交 B.一条直线不相交C. 无数条直线不相交 D.两条直线不相交二、
3、填空题13若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是. 14设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是 15如果两条异面直线称为“一对”，那么正方体的12条棱中，成异面直线的有 对。 16空间四边形中，分别是的中点，则与的位置关系是_；四边形是_形；当_时，四边形是菱形；当_时，四边形是矩形；当_时，四边形是正方形17如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图2)有下列四个命题：A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一
4、半B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) 三、解答题18如图，轴截面为边长是2的正方形的圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆的直径（1）求三棱柱的体积；（2）证明：平面平面19如图，PA矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点. （1）求证：MN/平面PAD （2）求证：MNCD （3）若PDA=45，求证：MN平面PCD.20如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直
5、线AB与CD所成角的余弦值；（III）求点E到平面ACD的距离。21如图，已知平面是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线的中点，已知（I）求证：平面；（II）求二面角的余弦值（）求三棱锥的体积.22已知正方体，是底面对角线的交点.（1）求直线和平面所成的角；（2）求证：23（本题满分分）如图，已知A、B、C是平面外不共线的三点，并且直线AB、BC、AC分别交于P、Q、R三点.求证：P、Q、R三点共线.参考答案1B【解析】因为三棱锥中,底面，,则点到平面的距离是，选B2C【解析】因为设底面为正三角形的直棱柱体积为V,那么结合棱柱的表面积公式可知，当表面
6、积最小时，底面边长为，选C.3D【解析】根据旋转体的概念可知，中，若将绕直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积大圆锥减去小的圆锥的体积，则可知是，选D.4A【解析】由球的表面积公式可知,所以因为AB=AC=2，BC=2，所以所以,所以球心到平面ABC的距离为.5D【解析】因为命题1中，如果两个平面平行，则其中一个平面内任何一条直线都平行于同一个平面，故命题1正确。命题2，可能n在平面内，错误，命题3中，可能相交或者平行，错误，命题4中，线面可能相交，因此错误，故选D.6B【解析】设V在底面的射影为O，则.直线与所成的角的大小.7C【解析】就是直线与平面所成的角,所以.8D【解析】取BC的中点E，
7、连接NE，ME，则.9C【解析】利用三棱锥的体积变换：，则10B【解析】因为底面，,过C作CE于E，则因为,所以,所以平面,所以,，.11D【解析】因为经过空间任意三点作平面，当三点共线时，能做无数个平面，当三点不共线时，只能确定一个平面，故选D.12A【解析】因为直线a平面，根据线面平行的定义可知直线a与平面内的任何一条直线都没有公共点，则与任意一条直线不相交，选A.139 【解析】解：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱长均为，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，所以求出正方体的对角线的长为：=所以球的直径是3，半径为，所以球的表面积为：42=9故填写914【解析】解：设四面体的底面
8、是BCD，BC=a，BD=CD=1，顶点为A，AD=在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0a2 （1）取BC中点E，E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，所以在三角形AED中，AE=ED=，两边之和大于第三边，所以，由由（1）（2）得，故a的取值范围是1524【解析】解：易知六棱锥的六条侧棱都交于一点，底面六条边在同一平面内，则六棱锥的每条侧棱和底面不与其相交的四条边都是异面直线，所以六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有64=24对故答案为24.16异面直线；平行四边形；且【解析】由图可知，为异面直线。因为分别是中点，所以。同理可得，所以，则四边形是平行四边形。由上可得，
9、当四边形是菱形时，即，所以可得。当四边形是矩形时，因为，所以可得。当四边形是正方形时，有且，从而可得且17BD【解析】设图（1）水的高度h2几何体的高为h1图（2）中水的体积为b2h1-b2h2=b2（h1-h2），所以b2h2=b2（h1-h2），所以h1=h2，故A错误，D正确对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确对于C，假设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为b2h2b2h2，矛盾，故C不正确故选BD18（1）；（2）见解析。【解析】本试题主要是考查了空间几何体的体积和面面垂直的证明的综合运用（
10、1），结合体积公式得到结论。（2）19见解析。【解析】本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，证明AE平面PCD 是解题的关键（1）取PD的中点E，连结AE、EN则有EN/CD/AB/AM，且EN=CD=AB=MA.四边形AMNE是平行四边形.MN/AE.AE平面PAD，MN平面PAD，MN/平面PAD.（2）PA平面ABCD，PAAB.又ADAB，AB平面PAD.ABAE，即ABMN.又CD/AB，MNCD.（3）取PD的中点E，证明AMNE为平行四边形，MNAE，由等腰直角三角形斜边上的中线性质可得AEPD，再由CDAE 可得AE平面PCD，故有MN平面PCD证明：（1）如图，
11、取PD的中点E，连结AE、EN则有EN/CD/AB/AM，且EN=CD=AB=MA.四边形AMNE是平行四边形.MN/AE.AE平面PAD，MN平面PAD，MN/平面PAD. （2）PA平面ABCD，PAAB.又ADAB，AB平面PAD.ABAE，即ABMN.又CD/AB，MNCD. （3）PA平面ABCD，PAAD.又PAD=45，E是PD中点，AEPD，即MNPD.又MNCD，MN平面PCD20（I）证明：见解析；（II）异面直线AB与CD所成角的余弦值为；（III）点E到平面ACD的距离为【解析】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象
12、能力、逻辑思维能力和运算能力（I）欲证AO平面BCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直，而COBD，AOOC，BDOC=O，满足定理；（II）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，异面直线AB与CD的向量坐标，求出两向量的夹角即可；（III）求出平面ACD的法向量，点E到平面ACD的距离转化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可（I）证明：连结OC在中，由已知可得而即 平面（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，是直角斜边AC上的中线，异
13、面直线AB与CD所成角的余弦值为（III）解：设点E到平面ACD的距离为在中， 而点E到平面ACD的距离为21（I）见解析；（II）二面角B1AEO的余弦值为；（）。【解析】(I)易证,进而可证,然后再证:即可.(II)在(I)的基础上,可过O作垂足为，连接1M,易证：,所以就是二面角.然后解三角形求角即可(III)求三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积即可依题意可知， 平面ABC，90，方法1：空间向量法 如图建立空间直角坐标系，因为4，则（I）， ， 平面 平面 （5分）（II） 平面AEO的法向量为，设平面 B1AE的法向量为， 即 令x2，则二面角B1AEF的余弦值为 （10分）（）因为， ，
