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1、汪莱 汪莱(1768一1813)，是中国古代数学家，字孝婴，号衡斋，徽款县人。 (一)早岁维艰 汪莱祖上以“诗书继世，孝友传家”为家训，其父汪昌早失亲，就此家道中衰。但汪昌博览群书，能诗善文，并曾中举人，撰有静山堂诗文集。 1768年9月27日，汪莱就诞生在这样一个贫寒的读书人家庭，其出生地在歙县瞻漠(今称记)之静山堂。 汪莱自幼秉承文学，6岁能诗，14岁入库。当时款县水、旱不断，家中生活更加艰辛。有一次汪莱奉父母命进城典当衣 归途遭恶犬咬啮，在腿上留下了深深的伤疤。这种艰难的活环境，铸就了他日后坚毅、顽强和独立不羁的个性。 (二)舌耕生涯 1788年，汪昌去世，汪莱也开始离家谋生。这一年他刚
2、满20岁，首先来到苏州，在葑门外教馆。在此期间，汪莱结识了著名学者焦循，并开始研读梅氏历算全书和数理精蕴等数学著作。1792年，汪莱返归故里，在家中自制浑仪、简平仪等并用它们来观测天象，这一期间他完成了一部名为参两算经的最早的数学作品。1796一1798年，汪莱先后与自己的同乡好友巴树谷、江玉讨论数学，完成弧三角形和勾股形两部书稿。 1789年，巴树谷将此两书合为一帙刊行，取名衡斋算学，这就是汪莱数学著作的最早刊本。同年汪莱乡试不第，巴树谷适有失子之伤，二人“移其情”于数学，“演得三干言”，这就是后来成了衡斋算学之三的平圆形。l799年，汪莱又应亲戚汪应埔之请“构难题数端往诸算学博士”，此即又
3、一篇弧三角形，连同旧著递兼数理一道，后来成为衡斋算学之四。 1801年，汪莱由歙县来到扬州，在翰林秦恩复家教馆。秦家藏书颇丰，当时的扬州又是学士名流荟萃的中心，汪莱在此读到了宋元数学家秦九韶、李冶的著作，又得以与张敦仁、江藩、钱献之、李锐等相识。在对秦、李算书进行研究的基础上，汪莱写成了关于方程论的衡斋算学之五。这年秋天，汪莱离扬州赴六安，途中撰成衡斋算学之六。年底，汪延麟在扬州为他刊刻了六卷本的衡斋算学。 汪莱与乾嘉时代的另一个大数学家李锐初次会面于1800年。衡斋算学之五写成后，他曾分送数人征询意见；其中唯有李锐理解他的用心，赞为“穷幽极微，真算氏之最”李锐又作跋文一篇，后来也被收入衡斋算
4、学之中。 1804年，李锐应知府张敦仁之邀来扬州充任幕宾，当时焦循也在扬州，汪莱与他们二人交往频繁，时人称他们为“谈天三友”。在此期间，汪莱继续钻研方程论，撰成衡斋算学之七。至此，汪莱的主要数学著作都已完成。 l805年，名学者夏銮调任新安训导，到歙县后闻知汪莱贤名，立即前往造访。两人“一见称莫逆，与语终日”，夏蛮称汪莱为“天下奇才”，并令门生胡培恽子夏忻、夏曼从汪学习数学。1806年，汪莱曾应两江总督铁宝之请主持黄河新、旧入海口的高程测算，功成后依然返歙。1807年在歙县以优行第一的成绩考取八旗官学教习，被选调入京参与国史馆的修历工作。在北京期间，汪莱读到明安图割圆密率捷法遗稿，对自己当年关
5、于割圆分弧的作品有所检讨。国史馆的工作完成后，汪莱于1811年被分配到安徽石埭县任县学教渝。 (三)潦倒一生 汪莱志大才高，行为举止几近狂放，因此常与社会习俗冲突。他年轻时曾赋诗称“我亦乡间肆志人”， “兴来大叫鬼神惊”。乡试落第后自云“抱下而泣”。夏忻描绘他的外貌为“长身玉立，须眉秀发”，而他的气质为“跪磊不平之气，往往慷慨悲歌。”汪莱生前，学术界除焦循、李锐、夏蛮等少数人外，多数学者都不能理解他的成就。张敦仁曾讥评他的方程论研究“过苦”，后来又将自己的开方补记及搜访到手的明安图遗稿对他实行保密。曾与汪莱。、李锐都有交游的江藩把他们二人的学术争论加以渲染，说他们因论方程不合“遂如冠仇，终身不
6、相见”，进而批评汪莱“过矣”。稍晚的罗士琳批评他“矫枉过正，未免失于偏。”骆腾风根本没有理解他的原意，就攻击他的方程论是“黯黔之词以欺世”，并以“算学砭愚”为题指名道姓地批评他的著作。种种事实表明，汪莱是被当时以考据相标榜的乾嘉学圈视为异端的人物。 汪莱到石埭后，生活依然清寒。此时他已很少与外界发生联系，但遇县学中有热心数学的生员，则悉心教诲，不厌其烦。他临终前几个月夏銮曾来看望，见其“颜色憔悴，悄然不乐”，就劝他再度著书；汪莱答道：“今世考据家陈陈相因，不过抄袭前言耳，非所发古人所未发也”。1813年12月4日，贫病交扰的汪莱死于任上。汪莱死后，家中萧然，囊无余资，石埭学生百姓感其清廉，输资
7、送其枢归故里，葬于歙县梅岭之将军打坐场。 汪莱生前，衡斋算学已出过三种刊本，但都不是足本。他去世后，夏蛮十分关心他的遗稿，特嘱长子夏忻与胡培翠加以搜集整理，后得衡斋遗书九卷，但长时间未能付样。1854年，夏蛮四子夏燮调任都阳(今江西波阳)知县，即从胡培翠后人处访得衡斋遗书稿本，连同衡斋算学一道，刊成衡斋算学遗书合刻本。衡斋遗书个也包括多种数学作品。“孝婴之学，深妙入微”；，他的数学工作，主要有以下几个方面。 ()三角学 当时传入的三角学，皆以与圆有关的线段来定义三角函数，故又称为“八线”之学。这种定义对于钝角可能产生符号判定和多值问题，梅文鼎、江永、戴震、焦循等人都曾专门讨论，然而系统的论述却
8、姑于汪莱。在衡斋算学第册中，汪莱罗列了各种平面或球面三角形的边角关系，逐一判断其是否存在唯解。举例来说他称：“原所知角锐，审又所知角小于原所知角则所求对边小；若大于原所知角则不能定。”就是说，已知球面三角形ABC中两锐角A、B及一对边a,若BA，则另一对边bA，则ba，但不唯一确定。衡斋算学第四册的前半部给出了许多球面三角形唯一可解的条件和若干球面三角形的性质，如a+b，则c2-(a+b)等。（二）勾股算术梅珏成在数理精蕴和增删算法统宗中都曾给出已知勾股积A与勾弦和的勾股和较算法，即求解三次方程： ，得为勾。然而在汪莱发现此方程两解，遂在衡斋算学第二册中提出另一种算法，即解三次方程： ，得其正
9、根，令为两个勾弦较小的几何平均数，再解二次方程： 得到二正根即为两个勾弦较。对此结果，有的人不理解汪莱何以舍简就繁，其实这一工作已蕴涵着他对一般高次方程正根个数的探索，与前面所论关于球面三角形唯一解的讨论一起，构成了汪莱方程论研究的先导。 (三)方程论在研读秦九韶、李冶算书的时候，汪莱注意到其中许多题目不只有一个解，而秦、李专以一数作答案，于是著衡斋算学第五册，罗列出三次以下各类方程共96个，逐一讨论其“知不知”，即是否有唯一的正根。他所用的术语和表答式沿用了数理精蕴中的“借根方法”，例如他称“有几真数，多几乘方积，与几根积相等不可知”，就是说三次方程： ，并非仅有一个正根。这一工作后来启发了
10、李锐对方 程论的兴趣，李、汪二人在方程论领域的讨论切磋极大地丰富了中国清代数学的内容。在同一册算书中，汪莱还就三次方程： ，讨论了根与系数的关系。他指出，该方程如果有三个正根，则： 这是韦达(F.Vieta)定理的一个特例。在衡斋算学第七册中，汪莱继续钻研方程论，给出了许多新的结果。例如他指出，如果高次方程可以分解成若干个一次方程，那么这些一次方程的正根就是原方程的正根。他还专门讨论一类三项方程：（且均为正整数，为正数）存在正根的充分条件。汪莱在书中给出了18个具体的方程的判定条件，概括起来就是： ，与现代方程论中导出的结果完全一致。（四）组合论衡斋算学第四册之后篇名为递兼数理，“递兼”是汪莱
11、对组合的叫法。中国古代数学中虽然不乏组合学的思想和题材，但是明确提出组合之定义并对其基本性质进行讨论的则是这篇递兼数理。汪莱三开始就声称：“递兼之数，古所未发，今定推求之则”。他所推出的关系式有：在论证最后一个公式时，他借用了传统的垛积知识。以为例，他说：“以一物为主而主兼它物得若干数，至以又一物为主而兼它物即不复兼，先为主之物，故所得必少一数，由此递少，遂成三角堆形”；就是说，以个元素中每次取2个的组合数，可以先确定一个元素后，再将其他元素相配，得组合数(m1)；再取第二个元素与不包括第一个元素的其他元素相配，得组合数(m一2)；依此类推，组合数每次递少一数，其组合总数，恰如一个首项为(m一
12、1)，末项和公差为1的等差级数之和；换用垛积术的语言，此数等于一个底为(m1)、顶为1、逐层递减一数的平三角堆的总积，它的求和公式早已为中算家所熟悉，即： 。同理，分别对立一个二乘、三乘（）乘三角堆。一般三角堆的公式是元代朱世杰给出的。汪莱当时虽没有读到朱世杰的四元玉鉴，他在递兼数理中也提出了“三角堆求积通法”，更重要的是，他建立了“递兼”和“垛积”这两类组合问题之间的联系。 (五)非十进制 汪莱青年时代所著的参两算经是中国数学史上第一次系统讨论非十整进制算术的作品，他在书中给出了二至九进制的乘法口诀。以九进制为例，乘法口诀为：“八二一七、八三二六、八四三五、八五四四、八六五三、八七六二、八八
13、七一、”；即8217、8326、8435、8544、8653、8762、887l。关于二至九进制的除法，汪莱专门研究了整除性问题。例如对于九进制，他认为满足于使商为整数或有限小数的除数只有一个3，相应的除法为：1303、2306、33l。他特别强调“法数合乃宜”这一选择进位制的原则，认为可根据不同的研究对象和目的采选择进位制，例如古代律学中普遍采用三分损益法，就以九进制为宜。（六）其他 衡斋算学第三、六册，分别讨论“有全弧通弦求五分之一弦通弦”和“有全弧通弦求三分之一弧通弦”，即由已知半径和弦长求部分弧的弦长问题。他所使用的几何方法，实为后来董方立割圆连比例图解和项各达象数一原等著作的前驱。 衡斋遗书中也有许多数学论著。覆载通几主要阐释第谷(T. Brahe)体系的行星运动规律，内中诸图均用几何定理证明；该书附录之“四边形算法”系汪莱对梅文鼎三角法举要的增补之作。考定碧氏倨勾令鼓旁线中悬而悬居线右解应用杠杆原理讨论了碧折的重心问题。校正九章算术及戴氏订讹对九章算术及戴震的校勘提出了若干正确的意见。此外、关于音律的乐律逢源，关于经解的干乘之国解、书尧典敬致解等也有一定的价值。
