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1、第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图:有理数麺弓点向制应数轴相反数 绝对值 有理数比较犬小二、绝对值的意义：（1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值， 记作|a|。（2）代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。a（当a为正数）也可以写成：丨a 1= 0（当a为0）a a为负数）说明：（I） |a|三0即|a|是一个非负数； （II） |a|概念中蕴含分类讨论思想。三、典型例题例 1.（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式I a I + I a+b I + I c-a I - I b-c I的值等于（A ）A
2、. -3aB. 2c a C. 2a 2bD. b ,_I人 =bJi Qr解：I a I + I a+b I + I c-a I - I b-cI=-a-（a+b）+（c-a）+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。 脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值 的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化 简。例 2已知：x 0 0，且|y | |z | |x|，那么 |x + z | + |y + z| |x-y |的
3、值(C )A.是正数B.是负数C.是零 D.不能确定符号解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：所|x + z | + |y + z |-|x- y | 以二 x + z - (y + z) - (x - y)二 0分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复 杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了 x、y、z三个数的大小关系，为我们 顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问 题的意识。例3(分类讨论的思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上 表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8,求这两个数；若数轴上 表示这
4、两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧” 意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该 用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x,乙数为y由题意得：| x | = 3 y |，(1) 数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即x0，则4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧，y在原点左侧，即x0，y0，则-4y=8 ，所以y=-2,x=6(2) 数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x0，y0，y0，则2y=8 ，所以y=4,x=12例4(整体的思想)方
5、程|x- 2008 = 2008- x的解的个数是(D )A. 1个B. 2个 C. 3个 D.无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为 求方程| a | = -a的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值 等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。例5(非负性)已知lab 2与laII互为相互数，试求下式的值.1 1 1 1 Ob (a + 1)(b +1) (a + 2)(b + 2 )(a + 2007 )(b + 2007 )分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：lab 2l=la11=0,解得：a=1,b
6、=2丁曰1111于于ab (a + 1)(b + 1) (a + 2 )(b + 2)(a + 2007 )(b + 2007)1 1 1 1= + + + .22 x 33 x 42008 x 200911111 1 1= + + + .+2 2 3 3 42008 20091200920082009在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结, 1 1 亠 1 1果.同学们可以再深入思考,，X8 +2008 x 2010如果题目变成求值，你有办法求解 吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。例6(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2，3与5,2 与6
7、， 4 与 3.并回答下列各题：(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： 相(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为一1,则A与B两点间的 距离x (-1) | - |x +1可以表示为.分析：点B表示的数为一1,所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么 点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意 位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。当x-1时，距离为-x-1,当-lx0，距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为| x +1|(3)结合数轴求得|x 2| + |x + 3|的最
8、小值为 ，取得最小值时x的取值范围为-3Wx_W2.分析：| x-2 |即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。|x + 3 | = |x-（-3）即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之 间的距离。如图，x在数轴上的位置有三种可能：-32-3 x2-32 蓋图1图2图3图2符合题意（4） 满足|x +1| + |x + 4 3的x的取值范围为xv-4或x-1分析：同理| x +1 |表示数轴上x与-1之间的距离，| x + 4 |表示数轴上x与-4之 间的距离。本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之 间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：xv-4或x-1。说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之， 有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题 时可以带来方便。事实上，| A - B表示的几何意义就是在数轴上表示数A与 数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合 数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。四、小结1. 理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2. 体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用
