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1、 课时作业1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为CD和C1C的中点，则直线AE与D1F所成角的余弦值为()A.B.C. D.B解析 以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)若棱长为2，则A(2，0，0)、E(0，1，0)、D1(0，0，2)、F(0，2，1)所以(2，1，0)，(0，2，1)，cos，.则直线AE与D1F所成角的余弦值为.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B.C. D.B解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为
2、1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以(0，1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1，2，2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)，所以cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是_解析 依题意，设，其中0，1，()()2110，1，因此的取值范围是0，1答案 0，14.如图，矩形ABCD中，AB2，BC4，将ABD沿对角线BD折起到ABD的位置，使点A在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线AB与CD所成角的大小为_解析 过O作OE
3、CD交BD于点E，由题意知，AOOC，AOOE，OEOC，故以O为原点，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，)，B(1，0，0)，C(3，0，0)，D(3，2，0)，所以(1，0，)，(0，2，0)，0，所以，故异面直线AB与CD所成角的大小为90.答案 905如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，其棱长为2，E为棱DD1的中点，F为对角线DB的中点(1)求证：平面CFB1平面EFB1；(2)求异面直线EF与B1C所成角的余弦值；(3)求直线FC1与平面B1CA所成角的正弦值解 (1)证明：因为F为DB的中点，则CFBD，又CFD1D，BDD1DD，所以CF平面BB1
4、D1D，因为CF平面CFB1，所以平面CFB1平面EFB1.(2)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E(0，0，1)，F(1，1，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)所以(1，1，1)，(2，0，2)所以异面直线EF与B1C所成角的余弦值为|cos，|0.(3)由(1)知CFEF，由(2)知EFB1C，又B1CCFC，B1C，CF平面B1CA，所以EF平面B1CA.所以是平面B1CA的法向量因为(1，1，2)，所以cos，所以直线FC1与平面B1CA所成角的正弦值为.6.(20xx兰州市实战考试)如图，
5、在四棱锥PABCD中，侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，PAPB，O为AB的中点，ODPC.(1)求证：OCPD；(2)若PD与平面PAB所成的角为30，求二面角DPCB的余弦值解 (1)证明：连接OP，因为PAPB，O为AB的中点，所以OPAB.因为侧面PAB底面ABCD，所以OP平面ABCD，所以OPOD，OPOC.因为ODPC，所以OD平面OPC，所以ODOC，又OPOC，所以OC平面OPD，所以OCPD.(2)法一：在矩形ABCD中，由(1)得ODOC，所以AB2AD，不妨设AD1，则AB2.因为侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，所以DA平面PAB，CB平面PAB，
6、DPACPB，所以DPA为直线PD与平面PAB所成的角，所以DPA30，CPB30，PAPB，所以DPCP2，所以PDC为等边三角形设PC的中点为M，连接DM，则DMPC.在RtCBP中，过M作NMPC，交PB于点N，连接ND，则DMN为二面角DPCB的一个平面角由于CPB30，PM1，故在RtPMN中，MN，PN.因为cosAPB，所以AN2323，所以ND2314，所以cosDMN，即二面角DPCB的余弦值为.法二：取CD的中点E，以O为原点，OE，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.在矩形ABCD中，由(1)得ODOC，所以AB2AD，不妨设AD1，则AB2
7、.因为侧面PAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，所以DA平面PAB，CB平面PAB，DPACPB，所以DPA为直线PD与平面PAB所成的角，所以DPA30，CPB30，PAPB，所以B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，1，0)，P(0，0，)，从而(1，1，)，(0，2，0)设平面PCD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得，可取n1(，0，1)同理，可取平面PCB的一个法向量为n2(0，1)于是cosn1，n2，所以二面角DPCB的余弦值为.7.(20xx西安第一次质量检测)在如图所示的空间几何体中，平面ACD平面ABC，ACD与ACB是边长为2的等边三角形，BE2，BE和平面A
8、BC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上(1)求证：DE平面ABC；(2)求二面角EBCA的余弦值解 (1)证明：由题意知，ABC，ACD都是边长为2的等边三角形，取AC的中点O，连接BO，DO，则BOAC，DOAC.又平面ACD平面ABC，所以DO平面ABC，作EF平面ABC，那么EFDO，根据题意，点F落在BO上，因为BE和平面ABC所成的角为60，所以EBF60，因为BE2，所以EFDO，所以四边形DEFO是平行四边形，所以DEOF.因为DE平面ABC，OF平面ABC，所以DE平面ABC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则B(0，0)，C(1，0，0
9、)，E(0，1，)，所以(1，0)，(0，1，)，平面ABC的一个法向量为n1(0，0，1)，设平面BCE的法向量为n2(x，y，z)，则，所以，取z1，所以n2(3，1)所以cosn1，n2，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角EBCA的余弦值为.8(20xx福建省毕业班质量检测)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC1，BB12，ABB160.(1)证明：ABB1C；(2)若B1C2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值解 (1)证明：连接AB1，在ABB1中，AB1，BB12，ABB160，由余弦定理得，ABAB2BB2ABBB1cosABB13
10、，所以AB1，所以BBAB2AB，所以AB1AB.又ABC为等腰直角三角形，且ABAC，所以ACAB，因为ACAB1A，所以AB平面AB1C.又B1C平面AB1C，所以ABB1C.(2)因为AB1，ABAC1，B1C2，所以B1C2ABAC2，所以AB1AC.如图，以A为原点，以，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，所以(1，0，)，(1，1，0)设平面BCB1的法向量为n(x，y，z)，由，得，令z1，得xy，所以平面BCB1的一个法向量为n(，1)因为(0，1，0)(1，0，)(1，1，)，所以cos，n，所以AC1与平面BCB1所成角的正弦值为.
