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1、最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法二分法学习目标1.了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在.2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程序化的步骤.知识链接现有一款手机，目前知道它的价格在5001 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？预习导引1.二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区
2、间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)在D内取一个闭区间a0，b0D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)f(b0)0.零点位于区间a0，b0中.(2)取区间a0，b0的中点(如图)，则此中点对应的坐标为x0a0(b0a0)(a0b0).计算f(x0)和f(a0)，并判断：如果f(x0)0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间x0，b0中，令a1x0，b1b0.(3)取区间a1，b1的中点，则此中点对应的坐标为x
3、1a1(b1a1)(a1b1).计算f(x1)和f(a1)，并判断：如果f(x1)0，则x1就是f(x)的零点，计算终止；如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间x1，b1上，令a2x1，b2b1.(4)继续实施上述步骤，直到区间an，bn，函数的零点总位于区间an，bn上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数yf(x)的近似零点，计算终止.这时函数yf(x)的近似零点满足给定的精确度.要点一函数零点类型的判断例1判断下列函数是否有变号零点；(1)yx25x14；(2)yx2x1；(3)y4x24x1.解(1)yx25x14(x2)(x7)，有两个零点2,
4、7.由二次函数的图象知，2,7都是变号零点.(2)yx2x1(x)20恒成立，此函数没有零点.(3)y4x24x1(2x1)2，有一个零点，但它是不变号零点.规律方法函数的零点分为变号零点和不变号零点，若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点；从图象来看，若图象穿过x轴，则此零点为变号零点，否则为不变号零点.二分法只能求函数的变号零点.跟踪演练1已知函数yf(x)的图象如图所示.下列结论正确的序号是()该函数有三个变号零点；所有零点之和为0；当x时，恰有一个零点；当0x1时，恰有一个零点.A. B.C. D.答案D解析函数yf(x)的三个变号零点分别是1,0,1.所以正确.要
5、点二二分法求函数零点近似解例2求函数f(x)x32x23x6的一个为正数的零点(精确到0.1).解由于f(1)60，f(2)40，可取区间1,2作为计算的初始区间.用二分法逐次计算，列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a01，b02f(1)6，f(2)41,2x11.5f(x1)2.62501.5,2x21.75f(x2)0.234 401.5,1.75x31.625f(x3)1.302 701.625，1.75x41.687 5f(x4)0.561 801.687 5，1.75x51.718 75f(x5)0.17101.718 75，1.75x61.734 375f(x6
6、)0.0301.718 75，1.734 375至此可以看出，区间1.718 75,1.734 375内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7就是所求函数零点精确到0.1的实数解，即为函数的一个正数零点.规律方法1.在选择区间a，b时要使其长度尽可能小，以减少运算次数.在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点.2.切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需继续运算，直到符合要求为止.跟踪演练2求函数f(x)x3x1在区间1,1.5内的一个零点(精确到0.1).解由于f(1)11110，f(1.5)3.3751.5
7、10.8750，f(x)在区间1,1.5内存在零点，取区间1,1.5作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a01，b01.5f(1)1，f(1.5)0.8751,1.5x01.25f(x0)01.25,1.5x11.375f(x1)01.25,1.375x21.312 5f(x2)01.312 5，1.375x31.343 75f(x3)01.312 5，1.343 75区间1.312 5,1.343 75两个端点精确到0.1的近似值都是1.3，所以原函数精确到0.1的近似零点为1.3.1.设函数f(x)用二分法求方程f(x)0在x(1,2)
8、内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根落在区间()A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C.(1.5,2) D.不能确定答案B解析f(1.5)f(1.25)0，方程的根落在区间(1.25,1.5).2.函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为()A.0 B.1C.2 D.3答案D解析函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点.3.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)0，f(0.72)0，f(0.68)0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(
9、)A.0.68 B.0.72C.0.7 D.0.6答案C解析已知f(0.64)0，f(0.72)0，则函数f(x)的零点的初始区间为0.64,0.72，又0.68(0.640.72)/2，且f(0.68)0，所以零点在区间0.68,0.72上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.4.下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是_(填序号).答案解析图中所示函数的零点都不是变号零点，因此不能用二分法求解；图中所示函数的零点是变号零点，能用二分法求解.5.用二分法求方程x32x50在区间2,3内的实根，取区间中点x02.5，那么下一个有根区间是_.答案2,2.5解析令f(x)x32x5，f(x)图象在2,3上连续不断，f(2)10，f(3)160，f(x0)f(2.5)5.6250，f(2)f(2.5)0，故下一个有根区间是2,2.5.1.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用.2.二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围.当区间的两个端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点.最新精品资料
