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1、几何证明-常用辅助线()中线倍长法：例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，AABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD |入(AB+AC) 分析：要证明 AD 2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角 形两边之和大于第三边”但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能 用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC2AD中，出现 了 2AD，即中线AD应该加倍。证明：延长AD至E,使DE=AD,连CE,贝U AE=2AD。XAB+AC)在厶ADB和厶EDC中， ADB 空EDC(SAS)AB=CE又在厶ACE中，AC+CEAEAC
2、+AB2AD，即 AD A EMBED Equation.3 A A (A小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。 它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角ZBAD和ZCAD集中于同一 个三角形中，以利于问题的获解。A练习：EMBED Equation.3 A 中，AD 是A EMBED Equation.3 入入入的平分线，且BD=CD，求证 AB=AC方式1：延长AD到E, 使 DE=AD, 连接BE方式2：间接倍长延长MD到N, 使 DN=MD,连接CDA例2:中线倍长辅助线作法ABC 中AD是BC边中线AA作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于
3、E连接BE例3：AABC中，AB=5, AC=3，求中线AD的取值范围过B点作AC的平行线，交AD的延长线于E点，因D点是BC的中点，所以 ADC9AEDB,从而：AD=ED，EB=AC=7，AE=2AD，在厶ABE中，有：BE-ABvAEvBE+AB7-3vAEv7+34v2ADvlO2ADEF。2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全 等三角形。例：如图2： AD为ABC的中线，且Z1=Z2,Z3=Z4，求证：BE+CF EF练习：已知AABC, AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各 向形外作等腰直角三角形，如图4,求证EF=2AD。3、延长已知边构造三角形
4、：例如：如图6：已知AC=BD, AD丄AC于A , BC丄BD于B, 求证：AD=BC4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 7： ABCD, ADBC求证：AB=CDo5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 8：在 RtAABC 中，AB=AC,ZBAC = 90,Z1 = Z2, CE丄 BD的延长于E。求证：BD = 2CE6连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9； AC、BD相交于O点，且AB=DC, AC=BD，求证：ZA = ZDO7、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 10： AB=DC,NA=ZD 求证：ZABC=NDCB。
