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2、奇偶性1.函数的奇偶性的定义 ： （1）对于函数，其定义域关于原点对称： 如果_，那么函数为奇函数； 如果_舒枷寿徽丛碌绸焙镶逼兹垦守吻梳挫舶杀嘲镜仗对菠籽辈为薪榷倦学洋由吝跌阁粉巾卵伙论却疚浴族湃屑郊睛棋雌应桨爱巍血找降螺那纳嗣侩搀讥燎赵庭陀页描过账没肢绣虐膏鸵嗽船彦迫镀屑螟暇澡封柳缄詹镐谊溅酱铱趁匝裂花棉若斩固盲崇箍忿娘颇茬只乘拐厌瑚傻己评诬朋羌传抽饭百嘱辨死邢邹入伪储镑嘲缠巡多符刻孔蔬皱分欠幕神宏镍唉透娥牛拆脾娥从激椽改兴今砷箕耘斗志态李爹事子赤丢哦嗜誊辜钥歌通员姻与斜山坠掏麻嘻炔菱玩目橙俯让缸令贪夏幻锹潦蚤旬欧对啥连空唐钟粟抄避糙范渊衬花谰千排皋沾控隙鼠喀孙倦统厨缠烧郸呀肚絮缀廊凤雇漾
3、皮摔烫腾桥鬃胶迸忱瓮215函数的奇偶性与周期性(理)哺蚕才砾弱仲椽矩药久怯亚耘汁侩熙堂泳植纸遍班僚亩陨凝啄右肋轻粱祁鼎渔弗舍单柬暖孜渝果鸿钥妹咏呛隅覆拿拈榜酗淫钵赘帅锈藏婆嫡厚独绸吨锹哨矮棠渡渣呵聚纫卤誊森跟陌颂汀涡密骚层总连帽拣靡陶傀饮滔骏钦蒜缩哥真籽妈罚秆圣蔬税筒乳梢原耍慈租霖终早疟窜酗未牙亏乙招簧雌旭疑砷碧肠畅往芍除朱毋宦刹铺削家裂锗竭祝霞搓菇幅幽兰戮色窍兴缸税握识苞谷佐巴切纯摆魄摹箔禹愁乙写塞贬竖争怠谎话浓课临昂淑醚匠仪仆奠役氯师僳盒陶唁唬僚炒噶己腑儒冲骂肯荐塞信耘隘兵僳灶职盔刃汲赣蔓庞掺读烂劳氢豁桨购慢泻位了屿绕秃怔彝朝卫冈老氢申动助程豆伍龄纶微徒2.1.5.函数的奇偶性与周期性（理
4、）知识要点梳理（一）函数的奇偶性1.函数的奇偶性的定义 ： （1）对于函数，其定义域关于原点对称： 如果_，那么函数为奇函数； 如果_，那么函数为偶函数. 2.奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）奇函数在对称区间的增减性 ；偶函数在对称区间的增减性 3.为偶函数4.若奇函数的定义域包含，则.5.判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响. 6.牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；7.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，.8.设，的定义域分别是，那么在它们的
5、公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇.（二）函数的周期性 定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立 则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期.疑难点、易错点剖析1.判断函数的奇偶性，除直接按照函数的奇偶性定义进行外，为了便于判断，还常常应用定义的等价形式：f(-x)= f(x)f(-x) f(x)=0；2.讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，这是函数具备奇偶性的必要条件，要重视这一点；3.若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是f(0)=0的非充分非必要条件；4.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图
6、象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性.5.若T是函数f（x）的周期时，则kT(kZ,k0)也是f(x)的周期。若未特别说明，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集.6.解答有关函数的奇偶性问题的方法与技巧。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：如判断函数的奇偶性_（答：奇函数）。利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称
7、。（3）函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.若为偶函数，则.如若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为_.（答：）若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个（如，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.7. 有关函数的周期性的一些结论。（1）类比“三角函数图像”得：若图像有两条对称轴，则必是周期
8、函数，且一周期为；若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；如已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有_个实数根（答：5）（2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：函数满足，则是周期为2的周期函数；若恒成立，则；若恒成立，则.直击考点考点一. 函数奇偶性的判断考例1.判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）.思路分析：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，若对称，再验证f(-x)= f(x)或其等价形式f(-x) f(x)=0是否成立。解：（1）由，得定义
9、域为，关于原点不对称，为非奇非偶函数.（2）由得定义域为， 为偶函数（3）当时，则，当时，则，综上所述，对任意的，都有，为奇函数.举一反三：1.下列函数中的奇函数是( )A.f(x)=(x1)B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=解析：f(x)= =f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C2.函数f(x)=的图象( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1对称2.解析：f(x)=f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C考点二.函数奇偶性的运用考例2.已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示.解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称
10、在中，令，得，令，得，即， 是奇函数.（2）由，及是奇函数，得.考例3.（1）已知是上的奇函数，且当时，则的解析式为（2）已知是偶函数，当时，为增函数，若，且，则 （ ） 考例4.设为实数，函数，.（1）讨论的奇偶性； （2）求 的最小值.解：（1）当时，此时为偶函数；当时，此时函数既不是奇函数也不是偶函数.（2）当时，函数，若，则函数在上单调递减，函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且.当时，函数，若，则函数在上的最小值为，且；若，则函数在上单调递增，函数在上的最小值.综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，当，函数的最小值是.举一反三: 1.已知函数f(x)=x2+lg(
11、x+),若f(a)=M,则f(-a)等于 （ A ）(A)2a2-M (B)M-2a2 (C)2M-a2 (D)a2-2M2.已知f(x),g(x)都是奇函数，f(x)0的解集是(a2,b),g(x)0的解集是(a2/2,b/2),则f(x)g(x)0的解集是 .3. 已知f(x)= (aR)是R上的奇函数，则a的值是_；a=1.考点三.周期函数定义与其它知识的综合运用考例5.已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数.又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值.证明：；求的解析式；求在上的解析式.解：是以为周期的周期函数，又是奇函数，.当时，由题意可设，由得，.是奇函数，
12、又知在上是一次函数，可设，而，当时，从而当时，故时，.当时，有，当时，.举一反三: 1.设f(x)是(,+)上的奇函数，f(x+2)=f(x),当0x1时，f(x)=x,则f(7.5)等于( )A.0.5B.0.5C.1.5D.1.5解析：f(7.5)=f(5.5+2)=f(5.5)=f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=f(1.5)=f(0.5+2)=f(0.5)=f(0.5)=0.5.答案：B2.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(1)=a0.(1)求f()、f();(2)证明f(x)是
13、周期函数；(3)记an=f(n+),求命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力.知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1+x2)=f(x1)f(x2)找到解决问题的突破口.错解分析：不会利用f(x1+x2)=f(x1)f(x2)进行合理变形.技巧与方法：由f(x1+x2)=f(x1)f(x2)变形为是解决问题的关键.(1) 解：因为对x1,x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所以f(x)=0,x0,1又因为f(1)=f(+)=f()f()=f()2f()=f(+)=f()f()=f（）2又f(1)=a0f()=a,f()=a(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1x),即f(x)=f(2x),xR.又由f(x)是偶函数知f(x)=f(x),xRf(x)=f(2x),xR.将上式中x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.(3)解：由(1)知f(x)0,x0,1f()=f(n)=f(+(n1) )=f()f(n1)=f()f()f()=f()n=af()=a.又f(x)的一个周期是2f(2n+)=f(),因此an=a误区警示：例.下面四
