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1、第七讲解析几何新题型的解题技巧【命题趋向】解析几何例命题趋势:1注意考察直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程,直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题,以选择、填空题的形式浮现,每年必考.考察直线与二次曲线的一般方程,属低档题,对称问题常以选择题、填空题浮现3.考察圆锥曲线的基本知识和基本措施的题多以选择题和填空题的形式浮现,有时会浮既有一定灵活性和综合性较强的题,如求轨迹，与向量结合,与求最值结合,属中档题分值一般在72分之间,题型一般为1个选择题,个填空题，1个解答题. 【考点透视】一.直线和圆的方程1.理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点式、一
2、般式,并能根据条件纯熟地求出直线方程2.掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式,可以根据直线的方程判断两条直线的位置关系3.理解二元一次不等式表达平面区域.4理解线性规划的意义,并会简朴的应用.理解解析几何的基本思想，理解坐标法.6掌握圆的原则方程和一般方程，理解参数方程的概念,理解圆的参数方程.二.圆锥曲线方程掌握椭圆的定义、原则方程和椭圆的简朴几何性质.2.掌握双曲线的定义、原则方程和双曲线的简朴几何性质.3.掌握抛物线的定义、原则方程和抛物线的简朴几何性质.4理解圆锥曲线的初步应用.【例题解析】考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常用题型之一，其解法为从曲
3、线的性质入手，构造方程解之例1(安徽卷)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重叠,则的值为（ ）A . C. D.考察意图:本题重要考察抛物线、椭圆的原则方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆的右焦点为（2，0),因此抛物线的焦点为（,0)，则，故选D.考点2 求线段的长求线段的长也是高考题中的常用题型之一，其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,运用距离公式解之例2.(四川卷文)已知抛物线-x2+上存在有关直线x+y=0对称的相异两点、,则|AB|等于A.3 B.4 . .4考察意图： 本题重要考察直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解:设直线的方程为，由,进而可求出的中点,又由在直
4、线上可求出,由弦长公式可求出故选C例3.(四川卷）如图,把椭圆的长轴提成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点,是椭圆的一种焦点,则_.考察意图: 本题重要考察椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程：由椭圆的方程知故填35.考点. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充足运用:()椭圆的离心率e=（0,1) （越大则椭圆越扁);() 双曲线的离心率e=(1，+) (越大则双曲线开口越大).结合有关知识来解题.例4(全国卷）文（4)理（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是,，则双曲线方程为A B. C. D.考察意图：本题重要考察双曲线的原则方程和双曲线的离心率
5、以及焦点等基本概念解答过程： 因此故选（A).小结： 对双曲线的原则方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念,要注意认真掌握特别对双曲线的焦点位置和双曲线原则方程中分母大小关系要认真体会.例5(广东卷)已知双曲线,则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于( )A. B. . 2 .4考察意图: 本题重要考察双曲线的性质和离心率e=（1,+） 的有关知识的应用能力.解答过程：依题意可知 . 考点4.求最大(小)值求最大（小)值, 是高考题中的热点题型之一其解法为转化为二次函数问题或运用不等式求最大(小)值:特别是，某些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6(山东卷)已知抛物线
6、y24,过点（,0)的直线与抛物线相交于A(1,y1),B(x2,y2)两点,则12+y22的最小值是 .考察意图: 本题重要考察直线与抛物线的位置关系，以及运用不等式求最大（小）值的措施.解:设过点(4,0)的直线为故填32.考点5圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性,都是考试的重点内容,要可以纯熟运用;常用的解题技巧要熟记于心.例7.（广东卷文)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为的圆C与直线y=x相切于坐标原点椭圆1与圆C的一种交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1）求圆C的方程;(）试探究圆C上与否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆
7、右焦点的距离等于线段的长若存在,祈求出点Q的坐标；若不存在,请阐明理由.考察目的本小题重要考察直线、椭圆等平面解析几何的基本知识，考察综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解答过程 （1) 设圆C 的圆心为 (m， n) 则 解得 所求的圆的方程为 （2) 由已知可得 ， 椭圆的方程为 ， 右焦点为 ( 4, 0) ; 假设存在Q点使,.整顿得 ， 代入 . 得： , . 因此不存在符合题意的Q点.例(安徽卷理)如图,曲线G的方程为.以原点为圆心,以为半径的圆分别与曲线G和轴的 正半轴相交于 A与点B. 直线 AB 与 x 轴相交于点C(）求点 A 的横坐标 a 与点 的横坐标c
8、的关系式；(）设曲线上点D的横坐标为,求证:直线CD的斜率为定值. 考察目的本小题综合考察平面解析几何知识,重要波及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考察运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. 解答过程（I)由题意知，由于由于 （1)由点B(，t)，C(c,0）的坐标知，直线BC的方程为又因点A在直线BC上,故有将（1)代入上式,得解得.(II）由于，因此直线D的斜率为，因此直线CD的斜率为定值.例9已知椭圆，AB是它的一条弦,是弦B的中点，若以点为焦点，椭圆的右准线为相应准线的双曲线C和直线B交于点,若椭圆离心率e和双曲线离心率之间满足，求：
9、()椭圆的离心率;（2)双曲线C的方程.解答过程：(1)设A、B坐标分别为， 则,，二式相减得: , 因此,， 则;（)椭圆E的右准线为，双曲线的离心率， 设是双曲线上任一点，则： , 两端平方且将代入得：或, 当时，双曲线方程为:,不合题意,舍去; 当时,双曲线方程为:,即为所求小结：(1）“点差法”是解决弦的中点与斜率问题的常用措施； （2)求解圆锥曲线时,若有焦点、准线，则一般会用到第二定义.考点6 运用向量求曲线方程和解决有关问题 运用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简朴化,便于理解和计算典型例题：例10(山东卷）双曲线C与椭圆有相似的焦点，直线y=为的一条渐近线.(1)求双曲线的方
10、程;(2)过点P(0,4)的直线,交双曲线C于A,两点，交x轴于点(Q点与的顶点不重叠）当，且时,求点的坐标.考察意图： 本题考察运用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.解答过程:(）设双曲线方程为， 由椭圆,求得两焦点为,对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线 解得 ，双曲线的方程为（)解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于零.设的方程:，,则,.在双曲线上,同理有:若则直线过顶点,不合题意.是二次方程的两根,，此时.所求的坐标为.解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程，则.， 分的比为由定比分点坐标公式得下同解法一解
11、法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程:，则.， ., ,，又， ,即.将代入得.,否则与渐近线平行.解法四:由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程:，则,.同理.即.(*）又消去得当时,则直线与双曲线得渐近线平行,不合题意，.由韦达定理有: 代入（*）式得.所求Q点的坐标为.例11（江西卷理)设动点P到点A(-l，0）和(，)的距离分别为d和d2，APB2，且存在常数(01=，使得d12 s2=（1）证明:动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程;（2)过点B作直线交双曲线C的右支于M、两点,试拟定的范畴，使=0，其中点为坐标原点考察目的本小题重要考察直线、双曲线等平面解析几何
12、的基本知识，考察综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解答过程解法1：(1)在中，即,即(常数），点的轨迹是觉得焦点，实轴长的双曲线方程为:.（2)设,当垂直于轴时,的方程为,，在双曲线上即，由于，因此当不垂直于轴时,设的方程为.由得:，由题意知:，因此，于是：.由于,且在双曲线右支上,因此.由知，.解法2:(1）同解法1(2）设，,的中点为.当时,，由于,因此;当时,.又因此;由得,由第二定义得因此.于是由得由于，因此,又,解得：.由知考点7 运用向量解决圆锥曲线中的最值问题 运用向量的数量积构造出等式或函数关系，再运用函数求最值的措施求最值，要比只运用解析几何知识建立等量关系
13、容易.例1.设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为,过点的直线交椭圆E于A、B两点，且,求当的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程.解答过程:由于椭圆的离心率为，故可设椭圆方程为，直线方程为,由得：,设,则又，故，即由得：，则=,当，即时,面积取最大值，此时,即，因此，直线方程为,椭圆方程为.小结：运用向量的数量积构造等量关系要比运用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.例.已知,，且, 求的最大值和最小值.解答过程：设，,由于，且，因此，动点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆,椭圆方程为,令,则,当时,取最大值，当时，取最小值.小结：运用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简朴的三角运算.考点8 运用向量解决圆锥曲线中的取值范畴问题 解析几何中求变量的范畴，一般状况下最后都转化成方程与否有解或转化成求函数的值域问题例1(福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点(I)求过点、F,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；(I)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G,求点G横坐标的取值范畴考察意图：本小题重要考察直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基本措施，考察运算能力和综合解题能力.解答过程：（）圆过点O
